6. 在平面直角坐标系中,点 M 的坐标为(a,-2a).将点 M 向左平移 2 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度后得到点 N,当点 N 在第三象限时,求 a 的取值范围.

解：点​M(a，​​-2a)​向左平移​2​个单位长度，横坐标变为​a-2；​
再向上平移​1​个单位长度，纵坐标变为​-2a+1，​∴点​N​的坐标为​(a-2，​​-2a+1)​
∵点​N​在第三象限，∴横坐标小于​0，​纵坐标小于​0​
可得$​\begin {cases}a-2＜0\\-2a+1＜0\end {cases}​$
​ ​解不等式​a-2＜0，​得​a＜2；​解不等式​-2a+1＜0，​得$​a＞\frac 12​$
∴​a​的取值范围是$​\frac 12＜a＜2。$​

7. 在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为(2m + 1,3m + 2).
(1)若点 P 在过点 A(-3,1)且与 y 轴平行的直线上,求点 P 的坐标；
(2)将点 P 向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度后得到点 M,若点 M 在第三象限,且点 M 到 y 轴的距离为 7,求点 M 的坐标.

解：​(1)​过点​A(-3，​​1)​且与​y​轴平行的直线上的点横坐标都为​-3​
∴$​2\ \mathrm {m}+1=-3，$​解得​m=-2​
​ ​则点​P ​的坐标为​(2×(-2)+1，​​3×(-2)+2)=(-3，​​-4)​
​ (2)​点​P ​向右平移​2​个单位长度，横坐标变为$​2\ \mathrm {m}+1+2=2\ \mathrm {m}+3；$​
向上平移​3​个单位长度，纵坐标变为$​3\ \mathrm {m}+2+3=3\ \mathrm {m}+5​$
∴点​M​的坐标为$​(2\ \mathrm {m}+3，$$​​3\ \mathrm {m}+5)。$​
∵点​M​在第三象限，所以横坐标小于​0，​纵坐标小于​0​
且点​M​到​y​轴的距离为​7，​即​|$2\ \mathrm {m}+3$|=7​
由于第三象限横坐标为负，∴$​2\ \mathrm {m}+3=-7，$​解得​m=-5​
​ ​此时纵坐标$​3\ \mathrm {m}+5=3×(-5)+5=-10＜0，$​符合题意
∴点​M​的坐标为​(-7，​​-10)​