11. 如图,⊙O 的半径 OA 垂直于弦 BC,垂足是 D,OA= 5,AD:OD= 1:4,则 BC 的长为.

6

设$AD = x$，因为$AD:OD = 1:4$，则$OD = 4x$。
已知$OA = 5$，由$OA=OD + AD$可得$4x+x = 5$，即$5x = 5$，解得$x = 1$，所以$OD = 4$，$AD = 1$。
因为$OA\perp BC$，根据垂径定理可知$BC = 2BD$。
在$Rt\triangle OBD$中，$OB = OA = 5$，$OD = 4$，根据勾股定理$BD=\sqrt{OB^{2}-OD^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
所以$BC = 2BD = 6$。

12. 如图,A,B,C 是⊙O 上的三个点.若∠AOB= 140°,则∠ACB 的度数为.

1. 首先明确圆周角定理：
同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$（当点$C$在优弧$\overset{\frown}{AB}$上时）；当点$C$在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上时，$\angle ACB = 180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB$。
已知$\angle AOB = 140^{\circ}$，由图可知$\angle ACB$所对的弧是优弧$\overset{\frown}{AB}$。
2. 然后计算$\angle ACB$的度数：
根据圆周角定理$\angle ACB = 180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB$。
把$\angle AOB = 140^{\circ}$代入公式，可得$\angle ACB=180^{\circ}-\frac{1}{2}×140^{\circ}$。
先计算$\frac{1}{2}×140^{\circ}=70^{\circ}$，再计算$180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$。
所以$\angle ACB$的度数为$110^{\circ}$。

13. 如图,AB 是⊙O 的直径,P 是 BA 的延长线上一点,PC 切⊙O 于点 C.若∠P= 30°,PB= 6,则 PC 的长为.

$2\sqrt{3}$

连接$OC$，因为$PC$切$\odot O$于点$C$，根据切线的性质可知$OC\bot PC$。
设$\odot O$的半径为$r$，已知$\angle P = 30^{\circ}$，在$Rt\triangle POC$中，$\angle P = 30^{\circ}$，则$OP = 2OC = 2r$。
又因为$PB=6$，$PB=PO + OB$，$OB = r$，$PO = 2r$，所以$2r+r = 6$，即$3r = 6$，解得$r = 2$。
则$PO = 4$，根据勾股定理$PC=\sqrt{PO^{2}-OC^{2}}$，$OC = r = 2$，$PO = 4$，所以$PC=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。

14. 如图,在正方形铁皮 ABCD 上,以点 A 为圆心剪下一个圆心角为 90°的扇形,剩余部分剪一个半径为 r 的圆,使其与扇形恰好围成一个圆锥.若 $AC= 5+\sqrt{2}$,则 r 的最大值是.

1

设扇形半径为$R$，圆锥底面圆半径为$r$。
1. 扇形弧长等于圆锥底面周长：$\frac{90\pi R}{180}=2\pi r$，化简得$R=4r$。
2. 正方形对角线$AC=5+\sqrt{2}$，设边长为$a$，则$a\sqrt{2}=5+\sqrt{2}$。
3. 剩余部分剪圆，圆心在正方形右上角，与$BC$、$CD$边相切，坐标为$(a - r, a - r)$，与扇形外切，圆心距$AO'=R + r$。
4. 圆心距$AO'=\sqrt{(a - r)^2+(a - r)^2}=(a - r)\sqrt{2}$，则$(a - r)\sqrt{2}=R + r$。
5. 代入$R=4r$和$a\sqrt{2}=5+\sqrt{2}$：$5+\sqrt{2}=r(5+\sqrt{2})$，解得$r=1$。

15. 若直角三角形的两条直角边长分别为 8 和 15,则它的内切圆直径为.

6（题目是填空题，这里按要求应理解为直接填写数值答案，即6）

设直角三角形的两条直角边长为$a$和$b$，斜边长为$c$，内切圆半径为$r$。
根据勾股定理，斜边$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$。
直角三角形的内切圆半径公式为$r = \frac{a + b - c}{2}$，将$a = 8$，$b = 15$，$c = 17$代入公式，可得$r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$。
所以内切圆直径$d = 2r = 2×3 = 6$。

16. 如图,在正方形网格中,线段 AB 绕点 A 顺时针旋转一定的角度 α(0°＜α＜180°)后与⊙O 相切,则 α 的值为.

60°

设网格中小正方形边长为1，由图可知点A(0,1)，圆心O(2,1)，⊙O半径r=1。OA=2，过点A作⊙O切线，切线与OA夹角θ满足sinθ=r/OA=1/2，θ=30°。原始AB为竖直向上，与OA（水平方向）夹角90°，故顺时针旋转角α=90°-30°=60°。

17. 如图,在平面直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别是(0,2),(2,0),(4,0),⊙M 是△ABC 的外接圆,则圆心 M 的坐标为.

(3,3)

∵B(2,0)，C(4,0)，∴BC中点为(3,0)，BC垂直平分线为x=3，故圆心M横坐标为3，设M(3,y)。
∵A(0,2)，B(2,0)，AB中点为(1,1)，AB斜率为(0-2)/(2-0)=-1，∴AB垂直平分线斜率为1，方程为y-1=1*(x-1)，即y=x。
∵M在y=x上，将x=3代入得y=3，∴M(3,3)。

18. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°, $AC= 2\sqrt{3}$,BC= 3,P 为△ABC 内一点,且满足 $PA^{2}+PC^{2}= AC^{2}$.当 PB 的长度最小时,△ACP 的面积是.

3√3/2

以点C为原点，BC所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立坐标系，设C(0,0)，B(3,0)，A(0,2√3)。设P(x,y)，由PA²+PC²=AC²得：
x²+(y-2√3)² + x²+y² = (2√3)²，化简得x²+(y-√3)²=3，即P在以O(0,√3)为圆心，√3为半径的圆上。
要使PB最小，P为线段OB与圆的交点。直线OB：y=(-√3/3)x+√3，代入圆方程得x=3/2，y=√3/2，即P(3/2,√3/2)。
△ACP面积=1/2×AC×x_P=1/2×2√3×3/2=3√3/2。