26. (本小题13分)已知抛物线$y= mx^{2}+2mx+n$(m,n为常数,$m＞0$)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D,$AB= 4$.
(1)求$3m+n$的值.
(2)如图,连接BD交AC于点E,求证：$BE= 2DE$.
(3)设M是x轴下方抛物线上的动点(不与点C重合),过点M作$MN// x$轴,交直线AC于点N.由线段MN长的不同取值,试探究符合条件的点M的个数.

(1) 抛物线$y=mx^2+2mx+n$对称轴为$x=-\frac{2m}{2m}=-1$。
∵$AB=4$，$A$、$B$关于对称轴对称，
∴$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
将$A(-3,0)$代入抛物线方程：$0=m(-3)^2+2m(-3)+n$，
即$9m-6m+n=0$，得$3m+n=0$。
(2) 由(1)知$n=-3m$，抛物线方程为$y=mx^2+2mx-3m$。
则$C(0,-3m)$，顶点$D(-1,-4m)$。
直线$BD$：过$B(1,0)$、$D(-1,-4m)$，斜率$k=\frac{-4m-0}{-1-1}=2m$，方程为$y=2mx-2m$。
直线$AC$：过$A(-3,0)$、$C(0,-3m)$，斜率$k=\frac{-3m-0}{0-(-3)}=-m$，方程为$y=-mx-3m$。
联立$\begin{cases}y=2mx-2m\\y=-mx-3m\end{cases}$，解得$x=-\frac{1}{3}$，$y=-\frac{8m}{3}$，即$E(-\frac{1}{3},-\frac{8m}{3})$。
$B(1,0)$，$E(-\frac{1}{3},-\frac{8m}{3})$，$D(-1,-4m)$。
$BE=\sqrt{(1+\frac{1}{3})^2+(0+\frac{8m}{3})^2}=\frac{4}{3}\sqrt{1+4m^2}$，
$DE=\sqrt{(-\frac{1}{3}+1)^2+(-\frac{8m}{3}+4m)^2}=\frac{2}{3}\sqrt{1+4m^2}$，
∴$BE=2DE$。
(3) 设$M(t,mt^2+2mt-3m)$，$-3＜t＜1$，$t≠0$。
直线$AC$：$y=-mx-3m$，$MN// x$轴，$N$在$AC$上，纵坐标与$M$相同。
令$-mx-3m=mt^2+2mt-3m$，解得$x=-t^2-2t$，则$N(-t^2-2t,mt^2+2mt-3m)$。
$MN=|t-(-t^2-2t)|=|t^2+3t|$。
① 当$0＜MN＜\frac{9}{4}$时，点$M$有$3$个；
② 当$MN=\frac{9}{4}$时，点$M$有$2$个；
③ 当$\frac{9}{4}＜MN＜4$时，点$M$有$1$个；
④ 当$MN≤0$或$MN≥4$时，点$M$有$0$个。
答案
(1) $0$
(2) 见解析
(3) 当$0＜MN＜\frac{9}{4}$时，$3$个；当$MN=\frac{9}{4}$时，$2$个；当$\frac{9}{4}＜MN＜4$时，$1$个；其他情况，$0$个。

(1) 抛物线对称轴为直线$x=-\frac{2m}{2m}=-1$，$AB=4$，则点$A(-3,0)$，$B(1,0)$。将$B(1,0)$代入$y=mx^2 + 2mx + n$，得$m + 2m + n=0$，即$3m + n=0$。
(2) 由
(1)知$n=-3m$，抛物线解析式为$y=mx^2 + 2mx - 3m$，则$C(0,-3m)$，$D(-1,-4m)$。
直线$AC$：过$A(-3,0)$，$C(0,-3m)$，设$y=kx + b$，代入得$\begin{cases}-3k + b=0\\b=-3m\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-m\\b=-3m\end{cases}$，$y=-mx - 3m$。
直线$BD$：过$B(1,0)$，$D(-1,-4m)$，设$y=px + q$，代入得$\begin{cases}p + q=0\\-p + q=-4m\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=2m\\q=-2m\end{cases}$，$y=2mx - 2m$。
联立$\begin{cases}y=-mx - 3m\\y=2mx - 2m\end{cases}$，解得$x=-\frac{1}{3}$，$y=-m×(-\frac{1}{3}) - 3m=-\frac{8}{3}m$，即$E(-\frac{1}{3},-\frac{8}{3}m)$。
$BE=\sqrt{(1 + \frac{1}{3})^2 + (0 + \frac{8}{3}m)^2}=\frac{4}{3}\sqrt{1 + 4m^2}$，$DE=\sqrt{(-1 + \frac{1}{3})^2 + (-4m + \frac{8}{3}m)^2}=\frac{2}{3}\sqrt{1 + 4m^2}$，故$BE=2DE$。
(3) 设$M(t,mt^2 + 2mt - 3m)(t\neq0)$，$MN// x$轴，$N$在$AC$上，$N$纵坐标为$mt^2 + 2mt - 3m$，代入$y=-mx - 3m$，得$x=-t^2 - 2t$，$N(-t^2 - 2t,mt^2 + 2mt - 3m)$。
$MN=|t - (-t^2 - 2t)|=|t^2 + 3t|$，$M$在$x$轴下方，$mt^2 + 2mt - 3m＜0$，$m＞0$，则$t^2 + 2t - 3＜0$，解得$-3＜t＜1$且$t\neq0$。
$MN=|t^2 + 3t|=-t^2 - 3t( -3＜t＜0)$或$t^2 + 3t(0＜t＜1)$。
当$MN=\frac{9}{4}$时，点$M$有$2$个；当$0＜MN＜\frac{9}{4}$时，点$M$有$4$个；当$MN＞\frac{9}{4}$时，点$M$有$2$个。
综上：当$MN=\frac{9}{4}$时，符合条件的点$M$有$2$个；当$0＜MN＜\frac{9}{4}$时，有$4$个；当$MN＞\frac{9}{4}$时，有$2$个。