3. 下列说法中正确的是()
A.三角形的三条高都在三角形内
B.三角形的三条中线相交于一点
C.三角形的三条角平分线可能在三角形内,也可能在三角形外
D.三角形的角平分线是射线

B

A. 三角形的三条高不一定都在三角形内部，例如直角三角形有两条高与直角边重合，一条在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条在三角形内部。所以A选项错误。
B. 根据三角形的性质，三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的质心，且质心将每条中线分为2:1的两部分。所以B选项正确。
C. 三角形的三条角平分线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点叫做三角形的内心。所以C选项错误。
D. 三角形的角平分线是从一个角的顶点出发，将该角平分，并与对边相交于一点的线段，而不是射线。所以D选项错误。

4. 取一张等腰直角三角形纸片 ABC(如图①),沿着直角边 BC 上的中线 AD 按图②所示方式折叠,AB 与 DC 相交于点 G.设△AGC 和△BGD 的面积分别为$S_{1},S_{2}$,则()
A.$S_{1}＞S_{2}$
B.$S_{1}= S_{2}$
C.$S_{1}＜S_{2}$
D.$S_{1}与S_{2}$的大小关系无法确定

B

设等腰直角三角形直角边BC=2a，∠C=90°，则AC=BC=2a，D为BC中点，故CD=BD=a。以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系，得C(0,0)，B(2a,0)，A(0,2a)，D(a,0)。
直线AD：过A(0,2a)、D(a,0)，斜率为-2，方程y=-2x+2a。
求B(2a,0)关于AD的对称点B'(x,y)，由对称性质得：
1. 中点((x+2a)/2,y/2)在AD上：y/2=-2*(x+2a)/2+2a ⇒ y=-2x；
2. BB'斜率为1/2：y=(x-2a)/2。
联立解得x=2a/5，y=-4a/5，即B'(2a/5,-4a/5)。
直线AB'：过A(0,2a)、B'(2a/5,-4a/5)，斜率为-7，方程y=-7x+2a。
AB'与DC（y=0）交于G，令y=0得x=2a/7，故G(2a/7,0)。
S₁=S△AGC：以CG=2a/7为底，高为AC=2a，面积=(2a/7×2a)/2=2a²/7。
S₂=S△BGD：以DG=a-2a/7=5a/7为底，高为B'纵坐标绝对值4a/5，面积=(5a/7×4a/5)/2=2a²/7。
故S₁=S₂。

5. 如图,以 AD 为高的三角形共有个.

6

以AD为高，则三角形的一个顶点为A，另两个顶点在直线BC上，且AD⊥BC。直线BC上的线段有BE、ED、DC、BD、EC、BC。对应的三角形为：△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC，共6个。

6. 已知 BD 是△ABC 的中线,AB= 7,BC= 3,且△ABD 的周长为15,则△BCD 的周长为.

11

∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD。
∵△ABD的周长为15，AB=7，
∴AB+BD+AD=15，即7+BD+AD=15，
∴BD+AD=8。
∵AD=CD，
∴BD+CD=8。
∵BC=3，
∴△BCD的周长为BC+BD+CD=3+8=11。
11

7. 已知 AD,BE 是△ABC 的高,AC= 3 cm,BC= 6 cm,用等式表示 AD 与 BE 之间的数量关系:.

【解析】：
∵AD,BE是△ABC的高，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BE=$\frac{1}{2}$BC·AD.
∵AC=3cm，BC=6cm，
∴$\frac{1}{2}$×3·BE=$\frac{1}{2}$×6·AD.
化简得：3BE=6AD，即BE=2AD.
【答案】：BE=2AD

8. 如图,在△ABC 中,CF,BE 分别是边 AB,AC 上的中线.若AE= 2,AF= 3,且△ABC 的周长为 15,则 BC 的长是.

5

∵BE是AC边上的中线，AE=2，
∴AC=2AE=4。
∵CF是AB边上的中线，AF=3，
∴AB=2AF=6。
设BC=x，
∵△ABC的周长为15，
∴AB+AC+BC=15，即6+4+x=15，
解得x=5。
5

9. 已知 AD 是△ABC 的高,$\angle BAD= 70^{\circ}$,$\angle CAD= 20^{\circ}$,则$\angle BAC$的度数是.

50°或90°

当高AD在△ABC内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；
当高AD在△ABC外部时，∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°；
∠BAC的度数是50°或90°。

10. 如图,在△ABC 中,E,F 分别是AD,CE 的中点,且△BEF 的面积是$4\ cm^2$,则△ABC 的面积是$cm^2$.

16

∵F是CE的中点，$S_{\triangle BEF}=4\ cm^2$，
∴$S_{\triangle BEC}=2S_{\triangle BEF}=2×4=8\ cm^2$。
∵E是AD的中点，
∴$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle DBE}$，$S_{\triangle ACE}=S_{\triangle DCE}$，
∴$S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ACE}=S_{\triangle DBE}+S_{\triangle DCE}=S_{\triangle BEC}=8\ cm^2$，
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ACE}+S_{\triangle BEC}=8+8=16\ cm^2$。
16