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11. 如图,$\angle C = \angle D = 90^\circ$,$AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$,$AC = BD$.求证：
(1)$BC = AD$；
(2)点 $O$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上.
(1)$BC = AD$；
(2)点 $O$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上.
答案
(1) 在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∵ AB=BA，AC=BD，
∴ Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，
∴ BC=AD。
(2) 由
(1)知Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴ ∠CAB=∠DBA，
∴ OA=OB，
∴ 点O在线段AB的垂直平分线上。
12. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,过点 $B$ 作 $AB$ 的垂线,过点 $C$ 作 $AC$ 的垂线,两条垂线交于点 $P$,作直线 $AP$.
(1)求证：$AP$ 垂直平分 $BC$；
(2)若 $AP = 5$,$AB = 4$,$PB = 3$,直接写出 $BC$ 的长.
(1)求证：$AP$ 垂直平分 $BC$；
(2)若 $AP = 5$,$AB = 4$,$PB = 3$,直接写出 $BC$ 的长.
答案
解析
(1)证明：
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上。
∵BP⊥AB，CP⊥AC，
∴∠ABP=∠ACP=90°。
在Rt△ABP和Rt△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ AP=AP\end{array}\right.$
∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）。
∴BP=CP。
∴点P在BC的垂直平分线上。
∵点A、P都在BC的垂直平分线上，
∴AP垂直平分BC。
(2)$\frac{24}{5}$
如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle CAB$ 的平分线 $AD$ 与 $BC$ 的垂直平分线 $DE$ 交于点 $D$,过点 $D$ 作 $DM \perp AB$ 于点 $M$,$DN \perp AC$,交 $AC$ 的延长线于点 $N$.求证：$BM = CN$.
答案
连接DB，DC。
∵AD平分∠CAB，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l} DB=DC \\ DM=DN \end{array}\right.$
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）。
∴BM=CN（全等三角形对应边相等）。
∵AD平分∠CAB，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l} DB=DC \\ DM=DN \end{array}\right.$
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）。
∴BM=CN（全等三角形对应边相等）。
