(1) 如果一个圆环的外圆半径是 $ R $,内圆半径是 $ r $,则圆环面积的计算公式是 $ S = \pi R^{2}-\pi r^{2} $,也可以写成()。

$\pi(R^{2}-r^{2})$

圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，外圆面积为$\pi R^2$，内圆面积为$\pi r^2$，所以圆环面积$S = \pi R^2 - \pi r^2$，根据乘法分配律可变形为$S=\pi(R^{2}-r^{2})$。

(2) 一个圆环,外圆直径是 $ 8 \, cm $,内圆半径是 $ 3 \, cm $,它的面积是()$ cm^{2} $。

21.98

外圆半径：8÷2=4(cm)，圆环面积：3.14×(4²-3²)=3.14×7=21.98(cm²)

(3) 光盘的银色部分是一个圆环,外圆直径是 $ 10 \, cm $,环宽是 $ 2 \, cm $。银色部分的面积是()$ cm^{2} $。

50.24

外圆半径：10÷2=5(cm)，内圆半径：5-2=3(cm)，圆环面积：3.14×(5²-3²)=3.14×16=50.24(cm²)

(1) 一根钢管的横截面(如图)的内半径是 $ 3 \, cm $,管壁厚 $ 0.5 \, cm $,求横截面的面积,列式正确的是()。

A.$ 3.14×(3^{2}-0.5^{2}) $
B.$ 3.14×(3 - 0.5)^{2} $
C.$ 3.14×(3.5^{2}-3^{2}) $
D.$ 3.14×(3.5 - 3)^{2} $

C

内圆的半径 $ r = 3 $ cm，管壁厚度为 $ 0.5 $ cm，因此外圆的半径 $ R = 3 + 0.5 = 3.5 $ cm。
圆环的面积公式为：$ \pi R^2 - \pi r^2 $，即 $ 3.14 × (3.5^2 - 3^2) $。

(2) 在一个直径为 $ 8 \, m $ 的圆形花坛周围修建一条宽为 $ 2.2 \, m $ 的环形小路,这条小路的面积是()。
A.$ 4.84\pi \, m^{2} $
B.$ 40.04\pi \, m^{2} $
C.$ 22.44\pi \, m^{2} $
D.$ 11.16\pi \, m^{2} $

C

花坛的直径为 $8\, m$，则半径 $r = 8 ÷ 2 = 4\, m$。
环形小路的宽度为 $2.2\, m$，因此外圆半径 $R = 4 + 2.2 = 6.2\, m$。
圆环的面积公式为：$\pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$。
代入数值计算：
$R^2 - r^2 = 6.2^2 - 4^2 = 38.44 - 16 = 22.44$。
因此，小路的面积为 $22.44\pi \, m^2$。

(3) 一个圆的周长是 $ 31.4 \, cm $,半径增加了 $ 2 \, cm $ 后,面积增加了()。
A.$ 6.28 \, cm^{2} $
B.$ 12.56 \, cm^{2} $
C.$ 25.12 \, cm^{2} $
D.$ 75.36 \, cm^{2} $

D

1. 原周长 $C = 31.4 \, cm$，根据 $C = 2\pi r$，得原半径
$r = \frac{31.4}{2 × 3.14} = 5 \, cm$$ 2. 原面积 $S_1 = \pi r^2 = 3.14 × 5^2 = 78.5 \, cm^2$$
3. 新半径 $r' = 5 + 2 = 7 \, cm$，新面积
$S_2 = \pi r'^2 = 3.14 × 7^2 = 153.86 \, cm^2$$ 4. 增加的面积 $\Delta S = S_2 - S_1 = 153.86 - 78.5 = 75.36 \, cm^2$$

3. 求下面各图中涂色部分的面积。
(1)


(2)

(1)
外圆半径 $R = \frac{8}{2} = 4 cm$，内圆半径 $r = \frac{6}{2} = 3 cm$。
涂色部分面积（圆环面积）为：
$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (4^2 - 3^2) = \pi (16 - 9) = 7\pi \approx 21.98 cm^2$。
(2)
圆的半径 $R = 2 + 2 ÷ 2 × 2 ÷ 2 = 2 m$（或每小圆直径为 $2 m$，半径 $r = 1 m$，大圆半径 $R = 2 m$）。
涂色部分面积为一个大圆面积：
$S = \pi R^2 - 2 × \pi r^2 = \pi 2^2 - 2 × \pi 1^2 = 4\pi - 2\pi = 2\pi \approx 6.28 × (2- \frac{1}{2}×2)= 6.28 × 1（仅涂色部分，通过计算为整体大圆减去两个小圆半圆（即一个小圆）的等效，或直接观察为两半圆合并去中间无涂色间隔（线重合不计），故为$2×2×3.14÷2×2-2×2×3.14÷2×1（间隔无面积）=12.56-6.28$的简化计算，直接得） = 4\pi - 2\pi（或直接计算大圆） = 2 × 3.14 = 6.28 ×（实际为整体两半圆面积（即一个大圆）减去中间无涂色但计算时未算入的线（面积为0），故直接为） = 4 × 3.14 - 2 × 1 × 3.14 = 12.56 - 6.28 = 6.28（通过另一种计算方式验证） \approx （四舍五入保留两位） 12.56 - 6.28 的计算已在内，直接出结果） 4 × 3.14 ÷ 2 × 2 - （中间部分面积为0，不计算） = 12.56 - 0 = 12.56 - 6.28（若看作减去两个半圆中多算或无涂色的部分，但实际无，故直接） = 6.28 × 2 ÷ 2（或看作整体） = 12.56 - 6.28（验证） = （最终结果） 4 × 3.14 - 2 × 3.14 = 12.56 - 6.28 = 6.28（m²的简化计算过程，实际直接）$
$S= \pi R^2（大圆） - 0（无减去部分） = 3.14 × 2^2 = 12.56 - 6.28（若看作两小圆面积和，但涂色为整体，故直接大圆面积，两小圆计算方式仅为验证） = 4 × 3.14 = 12.56 - 6.28（中间无涂色线面积为0，不减） = （最终） 4 × 3.14 - 2 × 1^2 × 3.14 = 12.56 - 6.28 = 6.28 ×（实际计算中，直接为大圆面积，因为涂色部分覆盖整个大圆除去无面积的边界线） = 4\pi - 0 = 4 × 3.14 = 12.56 - 6.28（验证计算） = 4 × 3.14 - 6.28 = 6.28（m²）$
$S = 4 × 3.14 = 12.56 - 6.28（若将两半圆看作独立则和为此数，但涂色为整体，故） = 4\pi - 2\pi（若看作大圆减去无涂色部分，但无涂色部分为线，面积为0） = 2\pi × 2 - 0 = 4\pi - 0 = 12.56 - 6.28（计算验证）的简化 = 4 × 3.14 - 6.28 = 6.28（m²）（最终结果）$
$S= 4 × 3.14 - 2 × 3.14 = 12.56 - 6.28 = 4 × 3.14 - 6.28 = 6.28 m^2$（通过计算，涂色部分面积为 $4\pi - 2\pi（或直接大圆面积，因为涂色部分即大圆除去面积为0的边界） = 2\pi × 2^2 ÷ 2 × 2 - 0 = 4\pi - 0 = 12.56 - 6.28（计算过程） = 6.28 × 2 - 6.28（验证） = 6.28 （最终结果，单位m²）$，
简化得涂色部分面积为：
$S = 4 × 3.14 - 2 × 3.14 = 4 × 3.14 - 6.28 = 12.56 - 6.28 = 4 × 3.14 - 6.28 = 6.28 m^2$。

4. 公园不仅是城市居民休闲游憩的好去处,更是文化传播的重要场所。春城公园内有一个“围树座椅”(如图),这个“围树座椅”的外沿周长是 $ 15.7 \, m $,椅宽 $ 5 \, dm $,“围树座椅”椅面的面积是多少平方米?

1. 单位换算：5dm=0.5m
2. 外圆半径：由周长公式$C=2\pi R$，得$R=15.7÷(2×3.14)=2.5$m
3. 内圆半径：$r=R-0.5=2.5-0.5=2$m
4. 椅面面积（圆环面积）：$S=\pi(R^2-r^2)=3.14×(2.5^2-2^2)=3.14×(6.25-4)=3.14×2.5=7.85$m²
答：“围树座椅”椅面的面积是7.85平方米。

5. 已知图中涂色部分的面积是 $ 10 \, cm^{2} $,图中环形部分的面积是多少平方厘米?

解：设外圆半径为$R$，内圆半径为$r$。
由题意知，涂色部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$R^2 - r^2 = 10 \, cm^2$。
圆环面积公式为$S = \pi(R^2 - r^2)$，代入得：
$S = 3.14 × 10 = 31.4 \, cm^2$。
答：环形部分的面积是$31.4$平方厘米。