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(1) 把一张圆形纸片沿半径剪开,将它平均分成若干(偶数)等份,拼成一个近似的长方形,如图所示。这个长方形的长相当于圆的周长的(
一半
),宽相当于圆的(半径
)。若圆的半径是 r ,则圆的面积 S = ($\pi r^2$
) 。答案
(1) 一半，半径，$\pi r^2$；
解析
(1) 把一张圆形纸片沿半径剪开，将它平均分成若干(偶数)等份，拼成一个近似的长方形。通过观察可以发现，这个长方形的长相当于圆的周长的一半，即 $\frac{C}{2} = \pi r × 2 ÷ 2 = \pi r$，宽相当于圆的半径 $r$。
若圆的半径是 $r$，则长方形的长为 $\pi r$，宽为 $r$，所以圆的面积 $S$ 等于长方形的面积：
$S = \pi r × r = \pi r^2$，
这个长方形的长相当于圆的周长的（一半），宽相当于圆的（半径）。若圆的半径是 $r$，则圆的面积 $S = (\pi r^2)$。
若圆的半径是 $r$，则长方形的长为 $\pi r$，宽为 $r$，所以圆的面积 $S$ 等于长方形的面积：
$S = \pi r × r = \pi r^2$，
这个长方形的长相当于圆的周长的（一半），宽相当于圆的（半径）。若圆的半径是 $r$，则圆的面积 $S = (\pi r^2)$。
(2) 新情境 杨万里的《荷亭倚栏》中,“水面圆纹乱相入,玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱,如同玻璃盆中旋转的玉连环。在长 9 \, m 、宽 6 \, m 的长方形水池中,形成一个最大的圆形波纹,这个圆形波纹的面积是(
28.26
$) m^2 。$答案
$28.26$（题目要求填写数值，所以答案为对应的数值）
解析
要在一个长$9\ m$、宽$6\ m$的长方形水池中形成一个最大的圆形波纹，圆的直径应等于长方形的较短边，即$6\ m$，因此半径为$ r = 6 ÷ 2 = 3(m)$。
圆的面积公式为$S = \pi r^2$，其中$r$为半径，$\pi$取$3.14$，所以：
$S = 3.14 × 3^2$
$S = 3.14 × 9$
$S = 28.26(m^2)$
圆的面积公式为$S = \pi r^2$，其中$r$为半径，$\pi$取$3.14$，所以：
$S = 3.14 × 3^2$
$S = 3.14 × 9$
$S = 28.26(m^2)$
(1) 一张长方形纸长 $ 12 \, cm $,宽 $ 8 \, cm $,在这张长方形的纸中剪一个最大的圆,这个圆的面积是(
A.$ 113.04 \, cm^2 $
B.$ 50.24 \, cm^2 $
C.$ 96 \, cm^2 $
D.$ 45.76 \, cm^2 $
B
)。A.$ 113.04 \, cm^2 $
B.$ 50.24 \, cm^2 $
C.$ 96 \, cm^2 $
D.$ 45.76 \, cm^2 $
答案
B
解析
要在长 $12\, cm$，宽 $8\, cm$ 的长方形中剪一个最大的圆，圆的直径最大等于长方形的宽 $8\, cm$，因此半径 $r = 8 ÷ 2 = 4\, cm$。
圆的面积 $S = \pi r^2 = 3.14 × 4^2 = 3.14 × 16 = 50.24\, cm^2$。
圆的面积 $S = \pi r^2 = 3.14 × 4^2 = 3.14 × 16 = 50.24\, cm^2$。
(2) 如果大圆的半径等于小圆的直径,那么大圆面积是小圆面积的(
A.2 倍
B.4 倍
C.3.14 倍
D.$ \pi $ 倍
B
)。A.2 倍
B.4 倍
C.3.14 倍
D.$ \pi $ 倍
答案
B
解析
设小圆半径为$r$，则大圆半径为$2r$。
小圆面积为$\pi r^2$，大圆面积为$\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$。
大圆面积除以小圆面积为$\frac{4\pi r^2}{\pi r^2} = 4$，即大圆面积是小圆面积的4倍。
小圆面积为$\pi r^2$，大圆面积为$\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$。
大圆面积除以小圆面积为$\frac{4\pi r^2}{\pi r^2} = 4$，即大圆面积是小圆面积的4倍。
3. 公园里有一块圆形空地,它的半径是 $ 10 \, m $。如果在这块空地上铺满草要花 $ 5024 $ 元,那么平均每平方米铺草需要多少钱？
答案
1. 计算圆形空地面积：$S = \pi r^2 = 3.14 × 10^2 = 3.14 × 100 = 314 \, m^2$
2. 计算每平方米铺草费用：$5024 ÷ 314 = 16$（元）
结论：平均每平方米铺草需要16元。
2. 计算每平方米铺草费用：$5024 ÷ 314 = 16$（元）
结论：平均每平方米铺草需要16元。
4. 新角度 为了让广大居民的生活更美好,城管部门开展环境治理活动。环卫处的工人每天用 $ 4 \, m $ 长的竹竿打捞护城河中漂浮的垃圾。请你帮忙算一算：当工人站在岸边的点 $ A $ 处时,可以捞出多大范围内漂浮的垃圾？
答案
已知工人站在岸边点A处，使用4m长的竹竿打捞垃圾。当工人站在岸边时，竹竿可在以点A为圆心，竹竿长度为半径的半圆范围内打捞垃圾（因为河岸限制了竹竿只能在河面一侧活动）。
圆的面积公式为$S = \pi r^2$，其中$r = 4m$。
半圆面积为圆面积的一半，即：
$S_{半圆} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} × \pi × 4^2 = \frac{1}{2} × \pi × 16 = 8\pi \, (m^2)$
若取$\pi \approx 3.14$，则$8\pi \approx 8 × 3.14 = 25.12 \, (m^2)$。
结论：可以捞出约$25.12 \, m^2$范围内漂浮的垃圾。
圆的面积公式为$S = \pi r^2$，其中$r = 4m$。
半圆面积为圆面积的一半，即：
$S_{半圆} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} × \pi × 4^2 = \frac{1}{2} × \pi × 16 = 8\pi \, (m^2)$
若取$\pi \approx 3.14$，则$8\pi \approx 8 × 3.14 = 25.12 \, (m^2)$。
结论：可以捞出约$25.12 \, m^2$范围内漂浮的垃圾。
5. 新角度 下面是一家披萨店的致歉声明：顾客朋友们,很抱歉地通知你们,中午客流量较大,店内十二寸(直径约为 $ 30 \, cm $)的披萨已经售完,我们将为您换成相同口味的 $ 2 $ 个八寸(直径约为 $ 20 \, cm $)的披萨(厚度相同),祝您用餐愉快！如果你是顾客,你觉得这样换有没有吃亏？请说明理由。
答案
十二寸披萨的半径为 $15cm$，其面积为：
$S_{12} = \pi × 15^{2} = 225\pi cm^2$。
一个八寸披萨的半径为 $10cm$，其面积为：
$S_{8} = \pi × 10^{2} = 100\pi cm^2$。
两个八寸披萨的总面积为：
$2 × S_{8} = 2 × 100\pi = 200\pi cm^2$。
比较两者面积，有 $225\pi ＞ 200\pi$。
因此，换成2个八寸披萨的面积比原12寸披萨的面积小，所以作为顾客，这样换是吃亏的。
$S_{12} = \pi × 15^{2} = 225\pi cm^2$。
一个八寸披萨的半径为 $10cm$，其面积为：
$S_{8} = \pi × 10^{2} = 100\pi cm^2$。
两个八寸披萨的总面积为：
$2 × S_{8} = 2 × 100\pi = 200\pi cm^2$。
比较两者面积，有 $225\pi ＞ 200\pi$。
因此，换成2个八寸披萨的面积比原12寸披萨的面积小，所以作为顾客，这样换是吃亏的。
