7. (2024苏州一模)如图,等腰Rt△ABC中,AC= BC,∠ACB= 90°,点D为斜边AB上一点(不与A,B重合),AD＜BD,连接CD,将线段CD绕点C顺时针方向旋转90°至CE,连接BE,DE。
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若AC= 4√{2},AD= 1,求DE的长。

(1)见证明过程；(2)DE=5√2。

(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，
又∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE，∴CD=CE，∠DCE=90°。
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠DCE=∠BCD+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ACD=∠BCE\\ CD=CE\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE(SAS)。
(2)解：在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4√2，∠ACB=90°，
∴AB=√(AC²+BC²)=√[(4√2)²+(4√2)²]=8。
∵AD=1，∴BD=AB-AD=8-1=7。
由(1)△ACD≌△BCE，得AD=BE=1，∠A=∠CBE=45°。
∵∠ABC=45°，∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°。
在Rt△DBE中，DE=√(BD²+BE²)=√(7²+1²)=√50=5√2。

8. (2024沙坪坝期中节选)在等边△ABC中,点D为边BC上一点,连接AD。
(1)如图1,过D作DG⊥AC,若BD= 1,CG= 2,求AD的长；
(2)如图2,将线段AD绕A点逆时针旋转120°至AE位置,连接BE,交AC于点F,求证：AF+BD= CF。

(1)$\sqrt{21}$；(2)证明见上述过程。

(1)设等边△ABC的边长为$x$，则$BC = x$。
∵$BD = 1$，∴$DC = x - 1$。
在$Rt△DGC$中，$\angle C = 60°$，$\angle DGC = 90°$，
∴$\angle GDC = 30°$，$CG = \frac{1}{2}DC$（30°角所对直角边是斜边一半）。
∵$CG = 2$，∴$DC = 4$，即$x - 1 = 4$，解得$x = 5$。
∴$AC = 5$，$AG = AC - CG = 5 - 2 = 3$。
在$Rt△DGC$中，$DG = DC \cdot \sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
在$Rt△ADG$中，$AD^2 = AG^2 + DG^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 12 = 21$，
∴$AD = \sqrt{21}$。
(2)证明：设等边△ABC边长为$1$，$BD = m$，以$A$为原点，$AB$为$x$轴建立坐标系，
则$A(0,0)$，$B(1,0)$，$C\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$D\left(1 - \frac{m}{2},\frac{\sqrt{3}m}{2}\right)$。
将$AD$绕$A$逆时针旋转$120°$得$E$，由旋转公式得$E\left(-\frac{1 + m}{2},\frac{\sqrt{3}(1 - m)}{2}\right)$。
直线$BE$方程：$y = \frac{\sqrt{3}(m - 1)}{m + 3}(x - 1)$，直线$AC$方程：$y = \sqrt{3}x$。
联立解得$F\left(\frac{1 - m}{4},\frac{\sqrt{3}(1 - m)}{4}\right)$，则$AF = \frac{1 - m}{2}$。
∵$CF = AC - AF = 1 - \frac{1 - m}{2} = \frac{1 + m}{2}$，
∴$AF + BD = \frac{1 - m}{2} + m = \frac{1 + m}{2} = CF$，即$AF + BD = CF$。