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19.如图，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ABC=90^{\circ}$，$AB=10.D$为$\triangle ABC$外一点，连接$AD$，$BD$.过点$D$作$DH\perp AB$，垂足为$H$，交$AC$于点$E$.
(1)若$\triangle ABD$是等边三角形，求$DE$的长.
(2)若$BD=AB$，且$\tan\angle HDB=\frac{3}{4}$，求$DE$的长.
(1)若$\triangle ABD$是等边三角形，求$DE$的长.
(2)若$BD=AB$，且$\tan\angle HDB=\frac{3}{4}$，求$DE$的长.
答案
19.(1)$\because \triangle ABD$ 是等边三角形，$AB = 10$，$\therefore \angle ADB = 60°$，$AD = AB = 10$. $\because DH \perp AB$，$\therefore AH = \frac{1}{2}AB = 5$.$\therefore DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}$. $\because \triangle ABC$ 是等腰直角三角形，$\therefore \angle CAB = 45°$.$\therefore \angle AEH = 45°$.$\therefore EH = AH = 5$.$\therefore DE = DH - EH = 5\sqrt{3} - 5$.
(2) $\because DH \perp AB$ 且 $\tan \angle HDB = \frac{3}{4}$，$\therefore$ 可设 $BH = 3k$，则 $DH = 4k$，$BD = 5k$.$\because BD = AB = 10$，$\therefore 5k = 10$. 解得 $k = 2$，$\therefore DH = 8$，$BH = 6$，$AH = 4$. 又$\because EH = AH = 4$，$\therefore DE = DH - EH = 4$.
(2) $\because DH \perp AB$ 且 $\tan \angle HDB = \frac{3}{4}$，$\therefore$ 可设 $BH = 3k$，则 $DH = 4k$，$BD = 5k$.$\because BD = AB = 10$，$\therefore 5k = 10$. 解得 $k = 2$，$\therefore DH = 8$，$BH = 6$，$AH = 4$. 又$\because EH = AH = 4$，$\therefore DE = DH - EH = 4$.
20.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的$A$处朝正南方向撤退，红方在公路上的$B$处沿南偏西$60^{\circ}$方向前进实施拦截.红方行进$1000\ m$到达$C$处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，又朝南偏西$45^{\circ}$方向前进了相同的距离，刚好在$D$处成功拦截蓝方.求拦截点$D$处到公路的距离（结果保留根号）.
答案
20.拦截点 $D$ 处到公路的距离为 $500(1 + \sqrt{2}) m$.
解析
解：过点$C$作$CE \perp AB$于点$E$，过点$C$作$CF \perp AD$于点$F$，过点$D$作$DG \perp AB$于点$G$。
在$Rt\triangle CEB$中，$\angle CBE = 60°$，$BC = 1000m$，
$\sin 60° = \frac{CE}{BC}$，则$CE = BC · \sin 60° = 1000 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3}m$，
$\cos 60° = \frac{BE}{BC}$，则$BE = BC · \cos 60° = 1000 × \frac{1}{2} = 500m$。
因为$AB$是东西走向，$AD$是正南方向，所以四边形$AECF$是矩形，$CF = AE$，$CE = AF = 500\sqrt{3}m$。
在$Rt\triangle CFD$中，$\angle DCF = 45°$，$CD = 1000m$，
$\sin 45° = \frac{DF}{CD}$，则$DF = CD · \sin 45° = 1000 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 500\sqrt{2}m$，
$\cos 45° = \frac{CF}{CD}$，则$CF = CD · \cos 45° = 1000 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 500\sqrt{2}m$，所以$AE = CF = 500\sqrt{2}m$。
因为$DG = AF + DF$，所以$DG = 500\sqrt{3} + 500\sqrt{2}$。
又因为$AB$是东西走向，$AD$是正南方向，所以$DG$即为$D$处到公路的距离，
$DG = 500(\sqrt{3} + \sqrt{2})m$。
在$Rt\triangle CEB$中，$\angle CBE = 60°$，$BC = 1000m$，
$\sin 60° = \frac{CE}{BC}$，则$CE = BC · \sin 60° = 1000 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3}m$，
$\cos 60° = \frac{BE}{BC}$，则$BE = BC · \cos 60° = 1000 × \frac{1}{2} = 500m$。
因为$AB$是东西走向，$AD$是正南方向，所以四边形$AECF$是矩形，$CF = AE$，$CE = AF = 500\sqrt{3}m$。
在$Rt\triangle CFD$中，$\angle DCF = 45°$，$CD = 1000m$，
$\sin 45° = \frac{DF}{CD}$，则$DF = CD · \sin 45° = 1000 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 500\sqrt{2}m$，
$\cos 45° = \frac{CF}{CD}$，则$CF = CD · \cos 45° = 1000 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 500\sqrt{2}m$，所以$AE = CF = 500\sqrt{2}m$。
因为$DG = AF + DF$，所以$DG = 500\sqrt{3} + 500\sqrt{2}$。
又因为$AB$是东西走向，$AD$是正南方向，所以$DG$即为$D$处到公路的距离，
$DG = 500(\sqrt{3} + \sqrt{2})m$。
21.如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC$，$CO$的延长线交$AB$于点$D$.
(1)求证$AO$平分$\angle BAC$.
(2)若$BC=6$，$\sin\angle BAC=\frac{3}{5}$，求$AC$和$CD$的长.
(1)求证$AO$平分$\angle BAC$.
(2)若$BC=6$，$\sin\angle BAC=\frac{3}{5}$，求$AC$和$CD$的长.
答案
证明：$(1)$连接$OB，$$ $在$△AOB$和$△AOC$中，
${{\begin{cases} { {AO=AO}} \\{BO=CO} \\ {AB=AC} \end{cases}}}$
∴$△AOB≌△AOC$
∴$∠BAO=∠CAO$
即$AO$平分$∠BAC$
$(2)$解：延长$AO$与$BC$交于点$E，$
∵$AB=AC，$$AO$平分$∠BAC$
∴$AO⊥BC$
∵$OA=OB$
∴$∠OAB=∠OBA$
∴$∠BOE=2∠OAB=∠BAC$
∴$sin∠BOE=sin∠BAC=\frac 3 5$
∵$BC=6$
∴$BE=\frac 1 2BC=3$
∴$OB=\frac {BE}{sin∠BOE}=5$
∴$OE=4，$$OA=OB=5$
∴$AE=9$
∴$AC=\sqrt {{3}^{2}+{9}^{2}}=3\sqrt {10}$
∵$∠DAO=∠CAO=∠DCA，$$∠ADO=∠ADC$
∴$△ADO∽△CDA$
∴$\frac {AD}{CD}=\frac {OD}{AD}=\frac {OA}{AC}=\frac 5 {3\sqrt {10}}=\frac {\sqrt {10}}{6}$
∴$OD=\frac {\sqrt {10}}6AD=\frac 5 {18}CD$
∵$OC=CD-OD=\frac {13}{18}CD=5$
∴$CD=\frac {90}{13}$
