4. 过某个多边形的一个顶点的所有对角线将这个多边形分成5个三角形,这个多边形是边形.

【解析】：
本题主要考查多边形的性质，特别是与多边形对角线数量及分割成的三角形数量之间的关系。
对于一个n边形，从一个顶点出发可以引出的对角线数量为$n-3$（因为与该顶点相邻的两个顶点和该顶点自身不能作为对角线的终点）。
这些对角线将多边形分割成的三角形数量为$n-2$（因为每增加一条对角线，就会多出一个三角形）。
根据题意，有$n-2=5$。
解这个方程，我们得到$n=7$。
所以，这个多边形是七边形。
【答案】：
七。

5. 如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的外角,∠1= 110°,∠2= 120°,则∠3= ______°.

解：因为三角形的外角和为360°，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，
所以∠1+∠2+∠3=360°。
已知∠1=110°，∠2=120°，
则∠3=360°-∠1-∠2=360°-110°-120°=130°。
130

6. 如图,四边形被裁去一个角后剩余部分是边形.

【解析】：
一个四边形，裁去一个角后，我们需要考虑裁去角的不同方式对边数的影响，裁去一个角有两种情况，一种是通过连接四边形相邻的两个顶点裁去一个角，这样边数会减少1；另一种是从四边形的一个顶点出发，向不相邻的一个边上的某一点连线并裁去角，这样边数不会改变，但本题的图示明确显示是通过连接四边形相邻的两个顶点裁去一个角，所以边数减少1，因此，剩余部分是一个五边形（原本的四边形边数4减去减少的1条边，再加上裁去角后新形成的一条边，即$4-1+1+1=5$，这里加1是因为裁去角后新形成的一条边实际上是在原边数基础上增加的）。但考虑到七年级学生可能更容易理解直观的解释，我们可以直接说，裁去一个角后，四边形就变成了五边形。
【答案】：
五

7. 从四边形中剪去一个三角形,剩余部分可能是几边形？从五边形中剪去一个三角形,剩余部分可能是几边形？……由此,请探究:从n边形中剪去一个三角形,剩余部分可能是几边形?

解：
从四边形中剪去一个三角形：
情况1：剩余部分是三角形（沿对角线剪）；
情况2：剩余部分是四边形（过一个顶点和一条边上一点剪）；
情况3：剩余部分是五边形（过两条边上的点剪，不过顶点）。
从五边形中剪去一个三角形：
情况1：剩余部分是四边形（沿对角线剪）；
情况2：剩余部分是五边形（过一个顶点和一条边上一点剪）；
情况3：剩余部分是六边形（过两条边上的点剪，不过顶点）。
从n边形中剪去一个三角形，剩余部分可能是(n-1)边形、n边形或(n+1)边形。

8. (1)如图①,点P在△ABC的边AB上,则PC分△ABC为个三角形;如图②,点P在四边形ABCD的边AB上,则PC,PD分四边形为个三角形;如图③,点P在五边形ABCDE的边AB上,则PC,PD,PE分五边形为个三角形……点P在n边形ABCD…MN的边AB上,则PC,PD,…,PM分n边形为个三角形.
(2)上述问题中,若点P在多边形内部,则n边形可分成多少个三角形?

【解析】：本题主要考查多边形以及从特殊到一般的数学思想。（1）第一个空，观察图①，当点P在$\bigtriangleup ABC$的边AB上时，PC将$\bigtriangleup ABC$分成了$\bigtriangleup ACP$和$\bigtriangleup BCP$，共2个三角形，所以第一个空填2。
第二个空，观察图②，当点P在四边形ABCD的边AB上时，PC和PD将四边形分成了$\bigtriangleup ACP$、$\bigtriangleup CDP$和$\bigtriangleup BDP$，共3个三角形，所以第二个空填3。
第三个空，观察图③，当点P在五边形ABCDE的边AB上时，PC、PD和PE将五边形分成了4个三角形，所以第三个空填4。
第四个空，通过前面的观察可以发现规律，当点P在n边形的边AB上时，分成的三角形个数比边数少1，即$(n - 1)$个三角形，所以第四个空填$(n - 1)$。
（2）当点P在多边形内部时，可以通过从点P引出多边形的边数的对角线来将多边形分割成三角形。
对于n边形，从内部一点出发，可以引出$(n - 1)$条线段，将n边形分成$(n - 2)$个三角形。
【答案】：(1)2；3；4；$(n - 1)$
(2)n边形可分成$(n - 2)$个三角形