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1. 下列各组数中,不能作为直角三角形的三边长的是(
A.$1.5,2,3$
B.$7,24,25$
C.$6,8,10$
D.$9,12,15$
A
)。A.$1.5,2,3$
B.$7,24,25$
C.$6,8,10$
D.$9,12,15$
答案
A
2. 下列各图形(含阴影部分)中,是轴对称图形的是(
C
)。答案
C
3. 已知一个等腰三角形的两边长分别是3和5,则这个等腰三角形的周长是(
A.$11$
B.$13$
C.$11或13$
D.$12或13$
C
)。A.$11$
B.$13$
C.$11或13$
D.$12或13$
答案
C
解析
情况一：腰长为3，底边长为5。
3+3＞5，能构成三角形，周长=3+3+5=11。
情况二：腰长为5，底边长为3。
5+5＞3，能构成三角形，周长=5+5+3=13。
C
3+3＞5，能构成三角形，周长=3+3+5=11。
情况二：腰长为5，底边长为3。
5+5＞3，能构成三角形，周长=5+5+3=13。
C
4. 在直角三角形中,斜边与较小直角边的和、差分别为8,2,则较长直角边长为(
A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
B
)。A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
答案
B
解析
设斜边为$c$，较小直角边为$a$，较长直角边为$b$。
由题意得：
$\begin{cases}c + a = 8 \\c - a = 2\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}c = 5 \\a = 3\end{cases}$
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，可得：
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$
B
由题意得：
$\begin{cases}c + a = 8 \\c - a = 2\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}c = 5 \\a = 3\end{cases}$
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，可得：
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$
B
5. 已知直角三角形的一条直角边长与斜边长分别为$6cm和10cm$,则这个直角三角形斜边上的中线长为
5
$cm$,斜边上的高线长为4.8
$cm$。答案
5:4.8
解析
5. 5；4.8
解析：
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边上的中线长为$\frac{10}{2} = 5$cm。
根据勾股定理，另一条直角边的长度为$\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$cm。
设斜边上的高线长为$h$cm，三角形面积可以表示为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$cm²，也可以表示为$\frac{1}{2} × 10 × h$，则$\frac{1}{2} × 10 × h = 24$，解得$h = 4.8$cm。
综上，斜边上的中线长为5cm，斜边上的高线长为4.8cm。
解析：
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边上的中线长为$\frac{10}{2} = 5$cm。
根据勾股定理，另一条直角边的长度为$\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$cm。
设斜边上的高线长为$h$cm，三角形面积可以表示为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$cm²，也可以表示为$\frac{1}{2} × 10 × h$，则$\frac{1}{2} × 10 × h = 24$，解得$h = 4.8$cm。
综上，斜边上的中线长为5cm，斜边上的高线长为4.8cm。
6. 已知命题：等边三角形的各个内角都等于$60^{\circ}$。这个命题的逆命题是
各内角都等于60°的三角形是等边三角形
,这是一个真
(填“真”或“假”)命题。答案
各内角都等于60°的三角形是等边三角形;真
7. 如图,在$\triangle ABC$中,$BE是\angle ABC$的平分线,$DE\perp AB于点D$。若$\angle A = 36^{\circ}$,$AB = AC = 8$,则$\angle C$的度数是
]
72°
,$\angle 1$的度数是72°
,$AD= $4
。]
答案
72°;72°;4
解析
在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 8$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle ABC=\angle C$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle A = 36^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle C=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$，则$\angle C=\frac{144^{\circ}}{2}=72^{\circ}$。
$BE$是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABE=\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×72^{\circ}=36^{\circ}$。
在$\triangle BEC$中，$\angle 1=180^{\circ}-\angle EBC-\angle C=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}$。
过点$E$作$EF\perp BC$于点$F$，因为$BE$是角平分线，$DE\perp AB$，$EF\perp BC$，所以$DE=EF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中，$\angle ADE=\angle CFE=90^{\circ}$，$\angle A=\angle ECF=36^{\circ}$，$DE=EF$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CFE(AAS)$，则$AD=CF$。
设$AD=x$，则$BD=AB - AD=8 - x$，$CF=x$，$BF=BC - CF$。
在$\triangle BDE$和$\triangle BFE$中，$\angle BDE=\angle BFE=90^{\circ}$，$\angle DBE=\angle FBE$，$BE=BE$，所以$\triangle BDE\cong\triangle BFE(AAS)$，则$BD=BF=8 - x$，所以$BC=BF + CF=8 - x + x=8$。
在$\triangle ABC$中，$AB=AC=8$，$BC=8$，所以$\triangle ABC$是等边三角形吗？不是，前面已求得$\angle A=36^{\circ}$，所以此处矛盾，重新思考。
在$\triangle ABE$中，$\angle A=36^{\circ}$，$\angle ABE=36^{\circ}$，所以$\triangle ABE$是等腰三角形，$AE=BE$。
设$AE=BE=y$，则$EC=AC - AE=8 - y$。
在$\triangle BEC$中，$\angle 1=72^{\circ}$，$\angle C=72^{\circ}$，所以$\triangle BEC$是等腰三角形，$BE=BC=y$，则$BC=y$。
由余弦定理得$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\angle A$，即$y^{2}=8^{2}+8^{2}-2×8×8\cos36^{\circ}$，计算复杂，换用等腰三角形性质。
因为$\angle A=36^{\circ}$，$AB=AC$，所以$\triangle ABC$是黄金三角形，$BC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=8×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4(\sqrt{5}-1)$，则$BE=BC=4(\sqrt{5}-1)$，$AE=BE=4(\sqrt{5}-1)$，所以$AD=AB - BD$，在$\triangle BDE$中，$BD=BE\cos\angle ABE=4(\sqrt{5}-1)\cos36^{\circ}$，计算仍复杂，考虑前面全等有误。
因为$\angle A=36^{\circ}$，$\angle ABE=36^{\circ}$，所以$AE=BE$，$\angle AEB=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$，则$\angle BEC=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$，所以$\angle BEC=\angle 1=72^{\circ}$，所以$BC=BE$，又因为$AE=BE$，所以$AE=BC$。
设$AD=x$，则$BD=8 - x$，在$Rt\triangle BDE$中，$\cos\angle ABE=\frac{BD}{BE}$，即$\cos36^{\circ}=\frac{8 - x}{BE}$，$BE=\frac{8 - x}{\cos36^{\circ}}$。
在$Rt\triangle ADE$中，$\cos\angle A=\frac{AD}{AE}$，即$\cos36^{\circ}=\frac{x}{AE}$，因为$AE=BE$，所以$\frac{x}{\cos36^{\circ}}=\frac{8 - x}{\cos36^{\circ}}$，解得$x=4$，即$AD=4$。
$72^{\circ}$;$72^{\circ}$;$4$
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle A = 36^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle C=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$，则$\angle C=\frac{144^{\circ}}{2}=72^{\circ}$。
$BE$是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABE=\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×72^{\circ}=36^{\circ}$。
在$\triangle BEC$中，$\angle 1=180^{\circ}-\angle EBC-\angle C=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}$。
过点$E$作$EF\perp BC$于点$F$，因为$BE$是角平分线，$DE\perp AB$，$EF\perp BC$，所以$DE=EF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中，$\angle ADE=\angle CFE=90^{\circ}$，$\angle A=\angle ECF=36^{\circ}$，$DE=EF$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CFE(AAS)$，则$AD=CF$。
设$AD=x$，则$BD=AB - AD=8 - x$，$CF=x$，$BF=BC - CF$。
在$\triangle BDE$和$\triangle BFE$中，$\angle BDE=\angle BFE=90^{\circ}$，$\angle DBE=\angle FBE$，$BE=BE$，所以$\triangle BDE\cong\triangle BFE(AAS)$，则$BD=BF=8 - x$，所以$BC=BF + CF=8 - x + x=8$。
在$\triangle ABC$中，$AB=AC=8$，$BC=8$，所以$\triangle ABC$是等边三角形吗？不是，前面已求得$\angle A=36^{\circ}$，所以此处矛盾，重新思考。
在$\triangle ABE$中，$\angle A=36^{\circ}$，$\angle ABE=36^{\circ}$，所以$\triangle ABE$是等腰三角形，$AE=BE$。
设$AE=BE=y$，则$EC=AC - AE=8 - y$。
在$\triangle BEC$中，$\angle 1=72^{\circ}$，$\angle C=72^{\circ}$，所以$\triangle BEC$是等腰三角形，$BE=BC=y$，则$BC=y$。
由余弦定理得$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\angle A$，即$y^{2}=8^{2}+8^{2}-2×8×8\cos36^{\circ}$，计算复杂，换用等腰三角形性质。
因为$\angle A=36^{\circ}$，$AB=AC$，所以$\triangle ABC$是黄金三角形，$BC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=8×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4(\sqrt{5}-1)$，则$BE=BC=4(\sqrt{5}-1)$，$AE=BE=4(\sqrt{5}-1)$，所以$AD=AB - BD$，在$\triangle BDE$中，$BD=BE\cos\angle ABE=4(\sqrt{5}-1)\cos36^{\circ}$，计算仍复杂，考虑前面全等有误。
因为$\angle A=36^{\circ}$，$\angle ABE=36^{\circ}$，所以$AE=BE$，$\angle AEB=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$，则$\angle BEC=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$，所以$\angle BEC=\angle 1=72^{\circ}$，所以$BC=BE$，又因为$AE=BE$，所以$AE=BC$。
设$AD=x$，则$BD=8 - x$，在$Rt\triangle BDE$中，$\cos\angle ABE=\frac{BD}{BE}$，即$\cos36^{\circ}=\frac{8 - x}{BE}$，$BE=\frac{8 - x}{\cos36^{\circ}}$。
在$Rt\triangle ADE$中，$\cos\angle A=\frac{AD}{AE}$，即$\cos36^{\circ}=\frac{x}{AE}$，因为$AE=BE$，所以$\frac{x}{\cos36^{\circ}}=\frac{8 - x}{\cos36^{\circ}}$，解得$x=4$，即$AD=4$。
$72^{\circ}$;$72^{\circ}$;$4$
8. 如图,已知$\angle OAB= \angle OBC= \angle OCD = 90^{\circ}$,$AB = BC = CD = 1$,$OA = 2$,则$OD= $
]
$\sqrt{7}$
。]
答案
$\sqrt{7}$
解析
以点$O$为原点，$OA$所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系。
因为$\angle OAB = 90^{\circ}$，$OA = 2$，$AB = 1$，所以点$A$的坐标为$(2, 0)$，点$B$的坐标为$(2, 1)$。
因为$\angle OBC = 90^{\circ}$，$BC = 1$，过点$B$作$x$轴垂线，垂足为$A$，则$BC$在垂直于$OB$的方向上。$OB$的斜率为$\frac{1 - 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}$，所以$BC$的斜率为$-2$。又因为$B(2, 1)$，$BC = 1$，设点$C$坐标为$(x, y)$，则$\frac{y - 1}{x - 2} = -2$，且$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$，解得$x = 2 - \frac{1}{\sqrt{5}}$，$y = 1 + \frac{2}{\sqrt{5}}$（根据图形方向确定符号）。
因为$\angle OCD = 90^{\circ}$，$CD = 1$，$OC$的斜率为$\frac{y}{x} = \frac{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}{2 - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5} + 2}{2\sqrt{5} - 1}$，所以$CD$的斜率为其负倒数。通过计算可得点$D$坐标，再根据两点间距离公式计算$OD$，可得$OD = \sqrt{7}$。
$\sqrt{7}$
因为$\angle OAB = 90^{\circ}$，$OA = 2$，$AB = 1$，所以点$A$的坐标为$(2, 0)$，点$B$的坐标为$(2, 1)$。
因为$\angle OBC = 90^{\circ}$，$BC = 1$，过点$B$作$x$轴垂线，垂足为$A$，则$BC$在垂直于$OB$的方向上。$OB$的斜率为$\frac{1 - 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}$，所以$BC$的斜率为$-2$。又因为$B(2, 1)$，$BC = 1$，设点$C$坐标为$(x, y)$，则$\frac{y - 1}{x - 2} = -2$，且$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$，解得$x = 2 - \frac{1}{\sqrt{5}}$，$y = 1 + \frac{2}{\sqrt{5}}$（根据图形方向确定符号）。
因为$\angle OCD = 90^{\circ}$，$CD = 1$，$OC$的斜率为$\frac{y}{x} = \frac{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}{2 - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5} + 2}{2\sqrt{5} - 1}$，所以$CD$的斜率为其负倒数。通过计算可得点$D$坐标，再根据两点间距离公式计算$OD$，可得$OD = \sqrt{7}$。
$\sqrt{7}$
