一、把下面各组分数先通分，再比较大小。
$\frac{4}{5}$和$\frac{7}{10}$ $\frac{11}{12}$和$\frac{11}{36}$
$\frac{3}{25}$和$\frac{2}{15}$ $\frac{1}{2}$和$\frac{3}{7}$
1. 对于$\frac{4}{5}$和$\frac{7}{10}$：
$5$和$10$的最小公倍数是$10$。
$\frac{4}{5}=\frac{4×2}{5×2}=\frac{8}{10}$，因为$\frac{8}{10}＞\frac{7}{10}$，所以$\frac{4}{5}＞\frac{7}{10}$。
2. 对于$\frac{11}{12}$和$\frac{11}{36}$：
$12$和$36$的最小公倍数是$36$。
$\frac{11}{12}=\frac{11×3}{12×3}=\frac{33}{36}$，因为$\frac{33}{36}＞\frac{11}{36}$，所以$\frac{11}{12}＞\frac{11}{36}$。
3. 对于$\frac{3}{25}$和$\frac{2}{15}$：
$25$和$15$的最小公倍数是$75$。
$\frac{3}{25}=\frac{3×3}{25×3}=\frac{9}{75}$，$\frac{2}{15}=\frac{2×5}{15×5}=\frac{10}{75}$，因为$\frac{9}{75}＜\frac{10}{75}$，所以$\frac{3}{25}＜\frac{2}{15}$。
4. 对于$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{7}$：
$2$和$7$的最小公倍数是$14$。
$\frac{1}{2}=\frac{1×7}{2×7}=\frac{7}{14}$，$\frac{3}{7}=\frac{3×2}{7×2}=\frac{6}{14}$，因为$\frac{7}{14}＞\frac{6}{14}$，所以$\frac{1}{2}＞\frac{3}{7}$。

1. 对于$\frac{4}{5}$和$\frac{7}{10}$：
$5$和$10$的最小公倍数是$10$。
$\frac{4}{5}=\frac{4×2}{5×2}=\frac{8}{10}$，因为$\frac{8}{10}＞\frac{7}{10}$，所以$\frac{4}{5}＞\frac{7}{10}$。
2. 对于$\frac{11}{12}$和$\frac{11}{36}$：
$12$和$36$的最小公倍数是$36$。
$\frac{11}{12}=\frac{11×3}{12×3}=\frac{33}{36}$，因为$\frac{33}{36}＞\frac{11}{36}$，所以$\frac{11}{12}＞\frac{11}{36}$。
3. 对于$\frac{3}{25}$和$\frac{2}{15}$：
$25$和$15$的最小公倍数是$75$。
$\frac{3}{25}=\frac{3×3}{25×3}=\frac{9}{75}$，$\frac{2}{15}=\frac{2×5}{15×5}=\frac{10}{75}$，因为$\frac{9}{75}＜\frac{10}{75}$，所以$\frac{3}{25}＜\frac{2}{15}$。
4. 对于$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{7}$：
$2$和$7$的最小公倍数是$14$。
$\frac{1}{2}=\frac{1×7}{2×7}=\frac{7}{14}$，$\frac{3}{7}=\frac{3×2}{7×2}=\frac{6}{14}$，因为$\frac{7}{14}＞\frac{6}{14}$，所以$\frac{1}{2}＞\frac{3}{7}$。

二、在$◯$里填上“$＞$”“$＜$”或“$=$”。
$\frac{6}{8}◯\frac{9}{10}$ $\frac{7}{10}◯\frac{7}{12}$
$\frac{5}{14}◯\frac{1}{7}$ $\frac{2}{3}◯\frac{3}{2}$

＜；＞；＞；＜

第一题：$\frac{6}{8}◯\frac{9}{10}$
1. 通分：分母 8 和 10 的最小公倍数是 40。
2. $\frac{6}{8}=\frac{6×5}{8×5}=\frac{30}{40}$，$\frac{9}{10}=\frac{9×4}{10×4}=\frac{36}{40}$。
3. 比较：$\frac{30}{40}＜\frac{36}{40}$，故填“＜”。
第二题：$\frac{7}{10}◯\frac{7}{12}$
1. 分子相同，分母大的分数小。
2. 10＜12，故$\frac{7}{10}＞\frac{7}{12}$，填“＞”。
第三题：$\frac{5}{14}◯\frac{1}{7}$
1. 通分：$\frac{1}{7}=\frac{2}{14}$。
2. 比较：$\frac{5}{14}＞\frac{2}{14}$，故填“＞”。
第四题：$\frac{2}{3}◯\frac{3}{2}$
1. $\frac{2}{3}$是真分数（＜1），$\frac{3}{2}$是假分数（＞1）。
2. 故$\frac{2}{3}＜\frac{3}{2}$，填“＜”。

三、把下列分数按从小到大的顺序排列起来。
$\frac{1}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{5}{6}$ $\frac{13}{12}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{10}$

步骤一：通分，将所有分数化为同分母分数
分母的最小公倍数：2、3、6、12、5、10的最小公倍数是60。
$\frac{1}{2} = \frac{1×30}{2×30} = \frac{30}{60}$
$\frac{2}{3} = \frac{2×20}{3×20} = \frac{40}{60}$
$\frac{5}{6} = \frac{5×10}{6×10} = \frac{50}{60}$
$\frac{13}{12} = \frac{13×5}{12×5} = \frac{65}{60}$
$\frac{2}{5} = \frac{2×12}{5×12} = \frac{24}{60}$
$\frac{3}{10} = \frac{3×6}{10×6} = \frac{18}{60}$
步骤二：比较分子大小
$\frac{18}{60} ＜ \frac{24}{60} ＜ \frac{30}{60} ＜ \frac{40}{60} ＜ \frac{50}{60} ＜ \frac{65}{60}$
步骤三：还原为原分数
$\frac{3}{10} ＜ \frac{2}{5} ＜ \frac{1}{2} ＜ \frac{2}{3} ＜ \frac{5}{6} ＜ \frac{13}{12}$
结论
$\frac{3}{10} ＜ \frac{2}{5} ＜ \frac{1}{2} ＜ \frac{2}{3} ＜ \frac{5}{6} ＜ \frac{13}{12}$

1. $\frac{1}{6}$和$\frac{7}{12}$的公分母是()。
A.6
B.12
C.7

B

公分母是指几个分数分母的公倍数，6和12的最小公倍数是12，所以$\frac{1}{6}$和$\frac{7}{12}$的公分母可以是12（答案不唯一，但选项中只有12符合）。

2. 两个数的最小公倍数是原来两个数的乘积，原来的两个数一定()。
A.都是质数
B.是相邻的自然数
C.只有公因数 1

C

两个数的最小公倍数等于它们之间的乘积时，这两个数互为互质数，即它们的公因数只有1。选项A中“都是质数”不一定成立，例如其中一个数可以是1；选项B中“是相邻的自然数”也不一定成立，例如8和15不是相邻数，但它们的最小公倍数为120（即8×15）；选项C中“只有公因数1”符合互质数的定义，因此是正确答案。

3. 大于$\frac{1}{7}$，小于$\frac{1}{5}$的分数的个数()。
A.只有一个
B.是有限的
C.是无限的

C

要判断大于$\frac{1}{7}$且小于$\frac{1}{5}$的分数的个数，可以先将两个分数通分，如$\frac{1}{7}=\frac{5}{35}$，$\frac{1}{5}=\frac{7}{35}$，此时找不到整数介于5和7之间，
考虑将分母扩大，如$\frac{1}{7}=\frac{10}{70}$，$\frac{1}{5}=\frac{14}{70}$，此时分子可以取11，12，13，即存在$\frac{11}{70}$，$\frac{12}{70}$，$\frac{13}{70}$等分数介于两者之间，
实际上，对于任意给定的分母，总可以找到一个分子使得该分数介于$\frac{1}{7}$和$\frac{1}{5}$之间，因此这样的分数有无限个。

4. 下面三个数中，最大的数是()，最小的数是()。
A.$\frac{6}{7}$
B.$\frac{7}{9}$
C.$\frac{7}{8}$

C B

比较三个分数的大小，先通分，9，7，8的最小公倍数是504，
$\frac{6}{7}=\frac{6×72}{7×72}=\frac{432}{504}$，
$\frac{7}{9}=\frac{7×56}{9×56}=\frac{392}{504}$，
$\frac{7}{8}=\frac{7×63}{8×63}=\frac{441}{504}$，
因为$\frac{441}{504}\gt\frac{432}{504}\gt\frac{392}{504}$，
所以$\frac{7}{8}\gt\frac{6}{7}\gt\frac{7}{9}$。

五、解决问题。
用两台收割机分别收割两块同样大的麦田，第一台收割机$\frac{2}{5}$时完成，第二台收割机$\frac{3}{10}$时完成。哪一台收割机收割得快一些？

要比较哪台收割机收割得快，需比较两台收割机完成相同工作量所用时间的长短，用时短的收割得快。
将两台收割机的工作时间化为同分母分数进行比较：
$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$，$\frac{3}{10} = \frac{3}{10}$。
因为$\frac{4}{10} ＞ \frac{3}{10}$，即第一台收割机用时更长。
结论：第二台收割机收割得快一些。

六、快乐提升。
1. 通过观察下列各图，从小到大排列$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$这四个分数。

()$＜$()$＜$()$＜$()
2. 用通分的方法验证上面的结论。

3. 通过上面的观察与验证，说一说你发现了什么规律？试用你得出的结论比较$\frac{2014}{2015}$和$\frac{2015}{2016}$的大小。

1. $\frac{1}{2}＜\frac{2}{3}＜\frac{3}{4}＜\frac{4}{5}$
2. $ \frac{1}{2} = \frac{30}{60} $，$ \frac{2}{3} = \frac{40}{60} $，$ \frac{3}{4} = \frac{45}{60} $，$ \frac{4}{5} = \frac{48}{60} $，
所以$ \frac{1}{2}＜ \frac{2}{3} ＜ \frac{3}{4} ＜ \frac{4}{5} $。
3. 规律：分子与分母差值相同的真分数，分子大的分数大（或分子与分母差值相同的真分数，分母大的分数大）；
$ \frac{2014}{2015} ＜ \frac{2015}{2016} $。