20. 【探究发现】
（1）如图①，在等边三角形 ABC 中，P 为三角形内一点，连接 AP，BP，CP。当 $ \angle APB - \angle ABC = 90^{\circ} $ 时，AP，BP，CP 满足 $ AP^{2} + BP^{2} = CP^{2} $。数学兴趣小组的同学们通过讨论，得到了以下思路：以 AP 为边，在 AP 的左侧作等边三角形 APQ，连接 BQ，通过验证 $ \triangle APC \cong \triangle AQB $，从而得到 $ PC = BQ $；再通过验证 $ \triangle PBQ $ 是直角三角形，得到 $ QP^{2} + BP^{2} = QB^{2} $，经等量代换即可得到 AP，BP，CP 的关系。请你根据以上思路，完成推导过程。
【类比】
（2）如图②，$ \triangle ABC $ 是等腰直角三角形，$ AB = AC $，P 为三角形内一点，连接 AP，BP，CP。当 $ \angle APB - \angle ABC = 90^{\circ} $ 时，判断 AP，BP，CP 之间的数量关系，并说明理由。
【联想拓展】
（3）如图③，在等腰三角形 ABC 中，$ AB = AC $，$ \angle BAC = 120^{\circ} $，P 为三角形内一点，连接 AP，BP，CP。当 $ \angle APB - \angle ABC = 90^{\circ} $ 时，AP，BP，CP 满足 $ (kAP)^{2} + BP^{2} = CP^{2} $，请直接写出 k 的值。