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5. (★)(2023·北京)如图27.2-4,直线AD,BC交于点O,AB//EF//CD,若AO= 2,OF= 1,FD= 2,则$\frac{BE}{EC}$的值为
$\frac{3}{2}$
。答案
3/2
解析
∵AB//EF，∴△OAB∽△OFE，∴AO/OF=BO/OE。
∵AO=2，OF=1，∴2/1=BO/OE，即BO=2OE。
∵EF//CD，∴△OEF∽△OCD，∴OF/OD=OE/OC。
∵OF=1，FD=2，∴OD=OF+FD=3，∴1/3=OE/OC，即OC=3OE。
设OE=x，则BO=2x，OC=3x。
∵B、O、E、C在同一直线上，∴BE=BO+OE=2x+x=3x，EC=OC-OE=3x-x=2x。
∴BE/EC=3x/2x=3/2。
∵AO=2，OF=1，∴2/1=BO/OE，即BO=2OE。
∵EF//CD，∴△OEF∽△OCD，∴OF/OD=OE/OC。
∵OF=1，FD=2，∴OD=OF+FD=3，∴1/3=OE/OC，即OC=3OE。
设OE=x，则BO=2x，OC=3x。
∵B、O、E、C在同一直线上，∴BE=BO+OE=2x+x=3x，EC=OC-OE=3x-x=2x。
∴BE/EC=3x/2x=3/2。
6. (★)如图27.2-5,已知DE//BC,EF//AB,下列判断正确的是【
A.$\frac{AD}{DB}= \frac{DE}{BC}$
B.$\frac{AC}{EC}= \frac{BC}{FC}$
C.$\frac{EF}{AB}= \frac{DE}{BC}$
D.$\frac{AB}{AD}= \frac{CE}{CA}$
B
】A.$\frac{AD}{DB}= \frac{DE}{BC}$
B.$\frac{AC}{EC}= \frac{BC}{FC}$
C.$\frac{EF}{AB}= \frac{DE}{BC}$
D.$\frac{AB}{AD}= \frac{CE}{CA}$
答案
B
解析
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$；∵EF//AB，∴△EFC∽△ABC，得$\frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}=\frac{EC}{AC}$。
选项A：$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}≠\frac{AD}{DB}$，A错误；
选项B：由△EFC∽△ABC得$\frac{EC}{AC}=\frac{FC}{BC}$，反比得$\frac{AC}{EC}=\frac{BC}{FC}$，B正确；
选项C：$\frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，两者不一定相等，C错误；
选项D：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}≠\frac{CE}{CA}$，D错误。
选项A：$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}≠\frac{AD}{DB}$，A错误；
选项B：由△EFC∽△ABC得$\frac{EC}{AC}=\frac{FC}{BC}$，反比得$\frac{AC}{EC}=\frac{BC}{FC}$，B正确；
选项C：$\frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，两者不一定相等，C错误；
选项D：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}≠\frac{CE}{CA}$，D错误。
7. (★★)(2023·内江)如图27.2-6,在△ABC中,D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC//DG//EF,H为AF与DG的交点.若AC= 12,则DH的长为【
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.3
C
】A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.3
答案
C
解析
∵D,E为AB的三等分点，∴AD=DE=EB，设AD=DE=EB=x，则AB=3x。
∵AC//DG，∴△BDG∽△BAC，BD=2x，BD/BA=2/3，∴DG/AC=2/3，AC=12，得DG=8。
∵AC//EF，∴△BEF∽△BAC，BE=x，BE/BA=1/3，∴EF/AC=1/3，得EF=4。
∵DG//EF，∴△ADH∽△AEF，AD/AE=1/2，∴DH/EF=1/2，EF=4，∴DH=2。
∵AC//DG，∴△BDG∽△BAC，BD=2x，BD/BA=2/3，∴DG/AC=2/3，AC=12，得DG=8。
∵AC//EF，∴△BEF∽△BAC，BE=x，BE/BA=1/3，∴EF/AC=1/3，得EF=4。
∵DG//EF，∴△ADH∽△AEF，AD/AE=1/2，∴DH/EF=1/2，EF=4，∴DH=2。
8. (★★)如图27.2-7,BD是△ABC的角平分线,点E在AB上,DE//BC,AE= 4,BC= 8,求DE的长。
答案
因为 $BD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，
所以 $\angle ABD = \angle CBD$，
因为 $DE // BC$，
所以 $\angle EDB = \angle CBD$（两直线平行，内错角相等），
所以 $\angle ABD = \angle EDB$，
根据等角对等边，可得$BE = DE$，
因为 $DE // BC$，
所以 $\triangle AED \sim \triangle ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
所以 $\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}$，
已知 $AE = 4$，$BC = 8$，
设 $DE = x$，则 $BE = x$，$AB = AE + BE = 4 + x$，
代入 $\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}$ 可得：
$\frac{4}{4 + x} = \frac{x}{8}$，
交叉相乘得：
$32 = x(4 + x)$，
即$x^2 + 4x - 32 = 0$，
因式分解得：
$(x + 8)(x - 4) = 0$，
解得 $x = 4$ 或 $x = -8$（舍去），
所以 $DE = 4$。
综上，答案为4。
所以 $\angle ABD = \angle CBD$，
因为 $DE // BC$，
所以 $\angle EDB = \angle CBD$（两直线平行，内错角相等），
所以 $\angle ABD = \angle EDB$，
根据等角对等边，可得$BE = DE$，
因为 $DE // BC$，
所以 $\triangle AED \sim \triangle ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
所以 $\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}$，
已知 $AE = 4$，$BC = 8$，
设 $DE = x$，则 $BE = x$，$AB = AE + BE = 4 + x$，
代入 $\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}$ 可得：
$\frac{4}{4 + x} = \frac{x}{8}$，
交叉相乘得：
$32 = x(4 + x)$，
即$x^2 + 4x - 32 = 0$，
因式分解得：
$(x + 8)(x - 4) = 0$，
解得 $x = 4$ 或 $x = -8$（舍去），
所以 $DE = 4$。
综上，答案为4。
9. (★★)如图27.2-8,过▱ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD,边BC,边DC的延长线于点E,F,G.求证：$EA^2= EF·EG$。
答案
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD（平行四边形对边平行）。
1. ∵AD//BC，
∴∠ADE=∠FBE，∠DAE=∠BFE（两直线平行，内错角相等），
∴△AED∽△FEB（AA相似判定），
∴$\frac{EA}{EF}=\frac{ED}{EB}$（相似三角形对应边成比例）。
2. ∵AB//CD，G为DC延长线上一点，
∴AB//DG，
∴∠ABE=∠GDE，∠BAE=∠DGE（两直线平行，内错角相等），
∴△AEB∽△GED（AA相似判定），
∴$\frac{EG}{EA}=\frac{ED}{EB}$（相似三角形对应边成比例）。
3. 由1、2得$\frac{EA}{EF}=\frac{EG}{EA}$，
∴$EA^2=EF·EG$（交叉相乘）。
结论：$EA^2=EF·EG$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD（平行四边形对边平行）。
1. ∵AD//BC，
∴∠ADE=∠FBE，∠DAE=∠BFE（两直线平行，内错角相等），
∴△AED∽△FEB（AA相似判定），
∴$\frac{EA}{EF}=\frac{ED}{EB}$（相似三角形对应边成比例）。
2. ∵AB//CD，G为DC延长线上一点，
∴AB//DG，
∴∠ABE=∠GDE，∠BAE=∠DGE（两直线平行，内错角相等），
∴△AEB∽△GED（AA相似判定），
∴$\frac{EG}{EA}=\frac{ED}{EB}$（相似三角形对应边成比例）。
3. 由1、2得$\frac{EA}{EF}=\frac{EG}{EA}$，
∴$EA^2=EF·EG$（交叉相乘）。
结论：$EA^2=EF·EG$。
