5. 已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 相交,∠BAC = 38°。
(1) 如图①,若 D 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,求∠ABC 和∠ABD 的度数；
(2) 如图②,过点 D 作⊙O 的切线,与 AB 的延长线交于点 P,若 DP//AC,求∠OCD 的度数。

(1)$\angle ABC=52^{\circ}$,$\angle ABD=45^{\circ}$
(2)$\angle OCD=26^{\circ}$

6. 如图,已知 AB 是⊙P 的直径,点 C 在⊙P 上,D 为⊙P 外一点,且∠ADC = 90°,直线 CD 为⊙P 的切线。
(1) 求证：2∠B + ∠DAB = 180°；
(2) 若∠B = 30°,AD = 2,求⊙P 的半径。

(1)略
(2)4

7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,点 O 在 AB 上,⊙O 经过 A,D 两点,交 AC 于点 E,交 AB 于点 F。
(1) 求证：BC 是⊙O 的切线；
(2) 若⊙O 的半径是 2,E 是$\overset{\frown}{AD}$的中点,求图中阴影部分的面积。(结果保留 π 和根号)

(1)略
(2)解:连接OE,交AD于K。
$\because \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$,$\therefore OE\perp AD$,
$\because \angle OAK=\angle EAK$,$AK=AK$,$\angle AKO=\angle AKE=90^{\circ}$,
$\therefore \triangle AKO\cong \triangle AKE(ASA)$,$\therefore AO=AE=OE$,
$\therefore \triangle AOE$是等边三角形,$\therefore \angle AOE=60^{\circ}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OAE}-S_{\triangle AOE}=\frac{60\pi× 2^{2}}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^{2}=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$。

8. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,以边 BC 为直径作半圆 O,点 E 在 AB 上,且 AE = 1.5,连接 DE。
(1) DE 与半圆 O 相切吗？若相切,请给出证明；若不相切,请说明理由。
(2) 求图中阴影部分的面积。

解:
(1)DE与半圆O相切。
证明:如图,过点O作OF⊥DE,垂足为F,连接OE,OD。
在$Rt\triangle ADE$中,$\because AD=2$,$AE=1.5$,
$\therefore DE=\sqrt{2^{2}+1.5^{2}}=2.5$,
$\because S_{四边形BCDE}=S_{\triangle DOE}+S_{\triangle BOE}+S_{\triangle CDO}$,
$\therefore \frac{1}{2}×(0.5+2)× 2=\frac{1}{2}× 2.5\cdot OF+\frac{1}{2}× 1× 0.5+\frac{1}{2}× 1× 2$,$\therefore OF=1$。
$\because OF$的长等于圆O的半径长,$OF\perp DE$,
$\therefore DE$与半圆O相切。
(2)阴影部分的面积=梯形BEDC的面积$-$半圆的面积$=\frac{1}{2}×(0.5+2)× 2-\frac{1}{2}× \pi× 1^{2}=\frac{5-\pi}{2}$。