1. 在式子 $ 4x^{2} - 7x $,$ a $,$ \frac{1}{x} $,$ \frac{x + 1}{2} $,$ πxy $,$ 0 $,$ 5x $ 中,单项式有()。
A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.$ 5 $ 个

C

单项式是只含有一个项的代数式，
$4x^{2} - 7x$：这不是单项式，因为它包含两个项，$4x^{2}$ 和 $-7x$。
$a$：这是单项式，因为它只含有一个项。
$\frac{1}{x}$：这不是单项式，因为分母含有变量。
$\frac{x + 1}{2}$：这不是单项式，因为它包含两个项，$\frac{x}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$。
$\pi xy$：这是单项式，因为它只含有一个项（$\pi$ 是一个常数）。
$0$：这是单项式，因为它可以看作是一个常数项。
$5x$：这是单项式，因为它只含有一个项。
所以，单项式有 $a$，$\pi xy$，$0$，$5x$ 共$ 4 $个。
故答案为：C.$ 4 $ 个。

2. 下列说法正确的是()。
A.$ 3πxy $ 的系数是 $ 3 $
B.$ 3πxy $ 的次数是 $ 3 $
C.$ -\frac{2}{3}xy^{2} $ 的系数是 $ -\frac{2}{3} $
D.$ -\frac{2}{3}xy^{2} $ 的次数是 $ 2 $

C

对于选项A，单项式$3πxy$的系数是前面的数字因数，即$3π$，而非$3$，所以A选项错误；
对于选项B，单项式$3πxy$的次数是所有字母的指数之和，即$x$的指数$1$与$y$的指数$1$之和，为$2$，而非$3$，所以B选项错误；
对于选项C，单项式$-\frac{2}{3}xy^{2}$的系数是前面的数字因数，即$-\frac{2}{3}$，所以C选项正确；
对于选项D，单项式$-\frac{2}{3}xy^{2}$的次数是所有字母的指数之和，即$x$的指数$1$与$y$的指数$2$之和，为$3$，而非$2$，所以D选项错误；
故答案为：C。

3. 下列说法正确的是()。
A.多项式 $ ax^{2} + bx + c $ 是二次多项式
B.四次多项式是指多项式中各项均为四次单项式
C.$ -ab^{2} $,$ -x $ 都是单项式,也都是整式
D.$ -4a^{2}b $,$ 3ab $,$ 5 $ 是多项式 $ -4a^{2}b + 3ab - 5 $ 中的项

C

对选项逐一分析：
A.多项式$ax^{2} + bx + c$，
在$a$为未知数或$a = 0$时，该多项式可能不是二次多项式，
所以A选项错误。
B.四次多项式是指多项式中最高次项的次数为$4$，并非各项均为四次单项式，
所以B选项错误。
C.由单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，
整式为单项式和多项式的统称，
所以$-ab^{2}$，$-x$都是单项式，也都是整式，
C选项正确。
D.多项式$-4a^{2}b + 3ab - 5$的项为$-4a^{2}b$，$3ab$，$-5$，
而不是$5$，
所以D选项错误。
综上，正确的是C。

4. 写一个只含有字母 $ x $ 和 $ y $ 的二次三项式,且满足一次项系数是 $ -1 $,常数项为 $ \frac{1}{3} $,则这个二次三项式可以是。

答案不唯一,如$xy - x+\frac{1}{3}$

根据题意，一个满足条件的二次三项式可以构造为：
$xy - x + \frac{1}{3}$（答案不唯一）。

5. 单项式 $ -\frac{ab^{3}}{3} $ 的系数为 $ x $,次数为 $ y $,则 $ xy $ 的值为。

$-\frac{4}{3}$

根据单项式的定义，对于单项式$-\frac{ab^{3}}{3}$，
系数 $x$ 为单项式前面的数字部分，即 $x = -\frac{1}{3}$。
次数 $y$ 为单项式中所有字母的指数之和，即 $y = 1+3 = 4$。
所以，$xy = -\frac{1}{3} × 4 = -\frac{4}{3}$。
故答案为：$-\frac{4}{3}$。

6. 已知关于 $ x $ 的整式 $ (k^{2} - 9)x^{3} + (k - 3)x^{2} - k $。
(1) 若该整式是二次式,则 $ k $ 的值为；
(2) 若该整式是二项式,则 $ k $ 的值为。

1. （1）
对于整式$(k^{2}-9)x^{3}+(k - 3)x^{2}-k$是二次式：
因为二次式中$x$的最高次数是$2$，所以$x^{3}$的系数为$0$，且$x^{2}$的系数不为$0$。
由$x^{3}$的系数$k^{2}-9 = 0$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = k$，$b = 3$，则$(k + 3)(k - 3)=0$，解得$k=\pm3$。
又因为$x^{2}$的系数$k - 3\neq0$，即$k\neq3$。
所以$k=-3$。
2. （2）
对于整式$(k^{2}-9)x^{3}+(k - 3)x^{2}-k$是二项式，分三种情况讨论：
情况一：当$k^{2}-9 = 0$且$k-3\neq0$时**：
由$k^{2}-9 = 0$，即$(k + 3)(k - 3)=0$，解得$k=\pm3$，又$k - 3\neq0$，所以$k=-3$，此时整式为$-6x^{2}+3$，是二项式。
情况二：当$k = 0$时**：
原整式为$(0^{2}-9)x^{3}+(0 - 3)x^{2}-0=-9x^{3}-3x^{2}$，是二项式。
故答案为：（1）$-3$；（2）$-3$或$0$。

7. 填表：

单项式 $-2x$ $-\frac{2ab^2}{5}$ $-0.01m^5n$ $-2×10^3xy$ $\frac{\pi^2x^2}{3}$ 系数 $-2$ $-\frac{2}{5}$ $-0.01$ $-2×10^3$ $\frac{\pi^2}{3}$ 次数 1 3 6 2 2

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}单项式&-2x&-\frac{2ab^2}{5}&-0.01m^5n&-2×10^3xy&\frac{\pi^2x^2}{3}\\ \hline系数&-2&-\frac{2}{5}&-0.01&-2×10^3&\frac{\pi^2}{3}\\ \hline次数&1&3&6&2&2\end{array}$