11. 如图①,爱心农场的一个长、宽、高分别为$12$分米、$8$分米、$20分米的长方体鱼池内装有高度为9$分米的水,某项目化学习小组需要将一个长方体基座(足够高)放置在鱼池内.若基座竖直放置在鱼池底部,如图②所示,则池内水面上升$3$分米.
(1)求基座的底面积；
(2)在安装过程中,先将基座吊起,使得基座的底部与水面齐平,如图③所示,然后将基座以每分钟$2$分米的速度下降,设下降的时间为$t$分钟.求当$t = 2$时水面上升的高度.

(1)设基座的底面积为$S$平方分米。
原来水的体积：$12×8×9 = 864$（立方分米）。
放入基座后水面高度：$9 + 3 = 12$（分米），此时水的底面积为$(12×8 - S)$平方分米。
由水的体积不变，得：$864=(12×8 - S)×12$，
即$864=(96 - S)×12$，解得$S = 24$。
(2)当$t = 2$时，基座下降距离：$2×2 = 4$（分米）。设水面上升高度为$h$分米，此时水面高度为$(9 + h)$分米，基座浸入水中深度为$(4 + h)$分米。
原来水的体积：$12×8×9 = 864$（立方分米）。
由水的体积不变，得：$864=12×8×(9 + h)-24×(4 + h)$，
即$864=96×(9 + h)-24×(4 + h)$，
化简得：$864=864 + 96h - 96 - 24h$，
$72h=96$，解得$h=\frac{4}{3}$。
(1)基座的底面积为$24$平方分米；(2)水面上升的高度为$\frac{4}{3}$分米。

12. 如图,$BD平分\angle ABC$,$BE分\angle ABC成3:4$两部分,$\angle DBE = 8^{\circ}$,求$\angle ABC$的度数.

$ 112^\circ $

设∠ABC的度数为$ x $。
∵BD平分∠ABC，∴$ \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2}x $。
∵BE分∠ABC成3:4两部分，设∠ABE = 3k，∠EBC = 4k或∠ABE = 4k，∠EBC = 3k，则$ x = 7k $。
情况1：∠ABE = 3k，∠EBC = 4k
此时$ \angle ABE = \frac{3}{7}x $，$ \angle ABD = \frac{1}{2}x $。
∵$ \frac{3}{7}x ＜ \frac{1}{2}x $，∴BE在BA与BD之间，
则$ \angle DBE = \angle ABD - \angle ABE $，即$ \frac{1}{2}x - \frac{3}{7}x = 8^\circ $。
化简得$ \frac{7x - 6x}{14} = 8^\circ $，$ \frac{x}{14} = 8^\circ $，解得$ x = 112^\circ $。
情况2：∠ABE = 4k，∠EBC = 3k
此时$ \angle ABE = \frac{4}{7}x $，$ \angle ABD = \frac{1}{2}x $。
∵$ \frac{4}{7}x ＞ \frac{1}{2}x $，∴BE在BD与BC之间，
则$ \angle DBE = \angle ABE - \angle ABD $，即$ \frac{4}{7}x - \frac{1}{2}x = 8^\circ $。
化简得$ \frac{8x - 7x}{14} = 8^\circ $，$ \frac{x}{14} = 8^\circ $，解得$ x = 112^\circ $。
综上，∠ABC的度数为$ 112^\circ $。

13. 如图,$P是线段AB$上任意一点,$AB = 12\mathrm{cm}$,$C$,$D两点分别从P$,$B同时出发向A$运动,且点$C的运动速度为2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$,点$D的运动速度为3\mathrm{cm}/\mathrm{s}$,运动的时间为$t\mathrm{s}$.
(1)若$AP = 8\mathrm{cm}$.
①运动$1\mathrm{s}$后,求$CD$的长；
②当点$D在线段PB$上运动时,试说明$AC = 2CD$.
(2)如果$t = 2$时,$CD = 1\mathrm{cm}$,那么$AP = $$\mathrm{cm}$.

(1)①3cm；②见解析；(2)9或11。

(1)①∵AB=12cm，AP=8cm，∴PB=AB-AP=12-8=4cm。
当t=1s时，C运动距离：PC=2t=2×1=2cm，D运动距离：BD=3t=3×1=3cm。
∵D在PB上，∴PD=PB-BD=4-3=1cm。
∵C在P左侧，PC=2cm，∴CD=PC+PD=2+1=3cm。
②∵AP=8cm，PC=2t，∴AC=AP-PC=8-2t。
∵PB=4cm，BD=3t，D在线段PB上，∴PD=PB-BD=4-3t。
∵C在P左侧，PC=2t，D在P右侧，∴CD=PC+PD=2t+(4-3t)=4-t。
∴2CD=2(4-t)=8-2t，即AC=2CD。
(2)设AP=xcm，则PB=(12-x)cm。t=2s时，PC=2t=4cm，BD=3t=6cm。
D距A点AD=AB-BD=12-6=6cm，C距A点AC=AP-PC=x-4。
CD=|AD-AC|=|6-(x-4)|=|10-x|=1cm。
∴10-x=±1，解得x=9或x=11。

14. 如图①,点$A$,$O$,$B依次在直线MN$上,现将射线$OA绕点O沿顺时针方向以每秒4^{\circ}$的速度旋转,同时射线$OB绕点O沿逆时针方向以每秒6^{\circ}$的速度旋转,直线$MN$保持不动,如图②.设旋转时间为$0\leqslant t\leqslant 30$(单位：秒).
(1)当$t = 3$时,求$\angle AOB$的度数；
(2)在运动过程中,当$\angle AOB第二次达到72^{\circ}$时,求$t$的值；
(3)在旋转过程中是否存在这样的$t$,使得$\angle AOB = 90^{\circ}$？如果存在,请求出$t$的值；如果不存在,请说明理由.

(1) $150^{\circ}$；(2) $25.2$；(3) 存在，$t = 9$或$27$。

(1) 当$t = 3$时，OA旋转角度为$4^{\circ} × 3 = 12^{\circ}$，OB旋转角度为$6^{\circ} × 3 = 18^{\circ}$。初始$\angle AOB = 180^{\circ}$，故此时$\angle AOB = 180^{\circ} - 12^{\circ} - 18^{\circ} = 150^{\circ}$。
(2) 当$0 \leq t \leq 18$时，$\angle AOB = 180^{\circ} - 10t$；当$t ＞ 18$时，$\angle AOB = 10t - 180^{\circ}$。
第一次$\angle AOB = 72^{\circ}$：$180 - 10t = 72$，解得$t = 10.8$；
第二次$\angle AOB = 72^{\circ}$：$10t - 180 = 72$，解得$t = 25.2$。
故$t = 25.2$。
(3) 存在。
情况1：$0 \leq t \leq 18$时，$180 - 10t = 90$，解得$t = 9$；
情况2：$t ＞ 18$时，$10t - 180 = 90$，解得$t = 27$。
$t = 9$和$t = 27$均在$0 \leq t \leq 30$内，故$t = 9$或$27$。