1. 三角形的外角
三角形的一边与另一边的组成的角,叫作三角形的外角. 如图所示,∠ACD 是△ABC 的一个外角.

2. 三角形外角的性质(三角形的内角和定理的推论)
三角形的外角等于的两个内角的和. 如图所示,∠ACD = ∠A + ∠B.

1. 延长线
2. 与它不相邻

1. 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。
2. 根据三角形内角和定理，$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ}$，又因为$\angle ACD + \angle ACB = 180^{\circ}$，所以$\angle ACD = \angle A + \angle B$，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

【例 1】 如图所示,∠1,∠2,∠3 中是△ABC 外角的是.

∠1

根据三角形外角的定义，三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。观察图形，∠1是△ABC的边BC的延长线与边AC组成的角，符合外角定义；∠2是∠1的对顶角，不是三角形的外角；∠3是△ABC的边BC的反向延长线与边AC组成的角，不符合外角定义（外角是一边的延长线，而非反向延长线）。故∠1是△ABC的外角。

1. 如图所示,下列角中是△ACD 的外角的是()

A.∠EAD
B.∠BAC
C.∠ACB
D.∠CAE

D

根据三角形外角的定义，三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。对于△ACD，其三个顶点分别为A、C、D。观察图形，∠CAE是由△ACD的边AC的延长线AE与边AD组成的角，符合外角定义。∠EAD、∠BAC、∠ACB均不符合△ACD外角的定义。

【例 2】 如图所示,在△ABC 中,∠B = 25°,∠BAC = 31°,过点 A 作 BC 边上的高,交 BC 的延长线于点 D,CE 平分∠ACD,交 AD 于点 E. 求：
(1)∠ACD 的度数；
(2)∠AEC 的度数.

(1)在△ABC中，∠B=25°，∠BAC=31°，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD=∠B+∠BAC=25°+31°=56°。
(2)AD是BC边上的高，∠D=90°。CE平分∠ACD，∠ACD=56°，∠ECD=∠ACD/2=28°。在△CDE中，∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118°。
(1)56°；(2)118°

2. (2025·珠海)如图所示,∠ACD = 120°,∠B = 20°,则∠A 的度数是()

A.120°
B.90°
C.100°
D.30°

C

根据三角形外角性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。所以∠ACD = ∠A + ∠B，已知∠ACD = 120°，∠B = 20°，则∠A = ∠ACD - ∠B = 120° - 20° = 100°。

3. 如图所示,CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线,且∠B = 50°,∠E = 30°,CE 交 BA 的延长线于点 E,则∠BAC 的度数是()

A.60°
B.90°
C.110°
D.130°

C

由于$CE$是$\angle ACD$的平分线，
所以$\angle ACE = \angle ECD$，
根据三角形外角定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，
在$\triangle ECD$中，$\angle ECD=\angle B + \angle E$，
已知$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle E = 30^{\circ}$，
所以$\angle ECD = 50^{\circ}+30^{\circ}=80^{\circ}$，
因为$CE$是$\angle ACD$的平分线，
所以$\angle ACD = 2\angle ECD=160^{\circ}$，
在$\triangle ABC$中，根据三角形外角定理，$\angle ACD=\angle B + \angle BAC$，
所以$\angle BAC=\angle ACD-\angle B = 160^{\circ}-50^{\circ}=110^{\circ}$。

4. 如图所示,点 O 是△ABC 内一点,∠A = 60°,∠1 = 15°,∠2 = 40°,则∠BOC 等于()

A.105°
B.115°
C.125°
D.无法确定

B

在△ABC中，∠A=60°，则∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°。设∠ABO=∠1=15°，∠ACO=∠2=40°，令∠OBC=α，∠OCB=β，则∠ABC=∠ABO+∠OBC=15°+α，∠ACB=∠ACO+∠OCB=40°+β。故(15°+α)+(40°+β)=120°，得α+β=65°。在△BOC中，∠BOC=180°-(α+β)=180°-65°=115°。

【例 3】 (教材题改编)如图所示,∠1 = ∠2 = 150°,则∠3 = ()

A.30°
B.150°
C.120°
D.60°

D

∵∠1=150°，∠1+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-150°=30°.
∵∠2=150°，∠2+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-150°=30°.
∵∠3是△ABC的外角，∴∠3=∠BAC+∠ABC=30°+30°=60°.