1. 若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线$l$与底面圆半径$r$的关系是。
2. (江苏苏州中考)如图24.4 - 22，$AB$是$\odot O$的直径，$AC$是弦，$AC = 3$，$\angle BOC = 2\angle AOC$。若用扇形$OAC$(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是。

1.l=2r 2.1/2

1. 解：圆锥侧面展开图半圆的弧长为$\pi l$，底面圆周长为$2\pi r$，由$\pi l = 2\pi r$，得$l = 2r$。
2. 解：设$\angle AOC = x$，则$\angle BOC = 2x$，因为$AB$是直径，所以$x + 2x = 180°$，解得$x = 60°$。扇形$OAC$的弧长为$\frac{60\pi \cdot OA}{180} = \frac{\pi \cdot OA}{3}$。又$OA = OC$，$\angle AOC = 60°$，所以$\triangle OAC$是等边三角形，$OA = AC = 3$，弧长为$\frac{\pi \cdot 3}{3} = \pi$。设圆锥底面圆半径为$r$，则$2\pi r = \pi$，解得$r = \frac{1}{2}$。

【例2】已知扇形的半径为$6$，圆心角为$120^{\circ}$，若将此扇形围成一个圆锥，求：
(1)围成的圆锥的侧面积；
(2)围成的圆锥的全面积。
思考1：求圆锥的侧面积就是求。
思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的，而扇形的弧长是圆锥底面圆的，所以可以先求出扇形的弧长。
解：

【例2】思考1：围成圆锥的扇形的面积；思考2：半径 周长；解:
(1)圆锥的侧面积是(120π×6²)/360=12π.
(2)扇形的弧长是(120π×6)/180=4π. 设圆锥底面圆的半径是r,则2πr=4π,解得r=2. 所以底面圆的面积是πr²=4π. 所以围成的圆锥的全面积是12π+4π=16π.

3. (江苏无锡中考)已知圆锥的底面圆的半径为$3\ cm$，母线长为$5\ cm$，则它的侧面展开图的面积等于$cm^{2}$。

3.15π

圆锥侧面展开图为扇形，扇形半径为母线长$5\ cm$，弧长为底面圆周长$2\pi×3 = 6\pi\ cm$。根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为弧长，$r$为半径），可得侧面展开图面积为$\frac{1}{2}×6\pi×5 = 15\pi\ cm^2$。
15π

4. 已知扇形的圆心角为$120^{\circ}$，面积为$300\pi\ cm^{2}$。
(1)求扇形的弧长；
(2)若将此扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的侧面积和全面积分别为多少？

$(1)$求扇形的弧长
- 步骤一：求扇形半径$R$
根据扇形面积公式$S = \frac{n\pi R^{2}}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为半径），已知$n = 120^{\circ}$，$S=300\pi$，代入可得：
$300\pi=\frac{120\pi R^{2}}{360}$
两边同时除以$\pi$得：$300=\frac{120R^{2}}{360}$
化简得：$R^{2}=900$，解得$R = 30cm$（$R＞0$）。
- 步骤二：求扇形弧长$l$
根据弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$，将$n = 120^{\circ}$，$R = 30$代入可得：
$l=\frac{120\pi×30}{180}=20\pi cm$。
$(2)$求圆锥的侧面积和全面积
- 步骤一：求圆锥侧面积$S_{侧}$
圆锥的侧面积就是扇形的面积，所以$S_{侧}=300\pi cm^{2}$。
- 步骤二：求圆锥底面半径$r$
因为圆锥底面周长$C = 2\pi r$（$r$为底面半径），且圆锥底面周长等于扇形弧长$l$，由$(1)$知$l = 20\pi$，所以$2\pi r=20\pi$，解得$r = 10cm$。
- 步骤三：求圆锥底面积$S_{底}$
根据圆的面积公式$S_{底}=\pi r^{2}$，将$r = 10$代入可得：$S_{底}=\pi×10^{2}=100\pi cm^{2}$。
- 步骤四：求圆锥全面积$S_{全}$
圆锥全面积$S_{全}=S_{侧}+S_{底}$，即$S_{全}=300\pi + 100\pi=400\pi cm^{2}$。
综上，$(1)$扇形的弧长为$\boldsymbol{20\pi cm}$；$(2)$圆锥的侧面积为$\boldsymbol{300\pi cm^{2}}$，全面积为$\boldsymbol{400\pi cm^{2}}$。

1. 已知一个圆锥的高是$20\sqrt{2}$，底面圆的半径为$10$，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于()

A.$90^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

1.C

解：圆锥的母线长为 $\sqrt{(20\sqrt{2})^{2}+10^{2}} = 30$，底面圆周长为 $2\pi×10 = 20\pi$。设侧面展开图的圆心角为 $n^{\circ}$，则 $\frac{n\pi×30}{180}=20\pi$，解得 $n = 120$。
C

2. (四川自贡中考)圆锥的底面圆的半径为$4\ cm$，高为$5\ cm$，则它的全面积为()

A.$12\pi\ cm^{2}$
B.$26\pi\ cm^{2}$
C.$\sqrt{41}\pi\ cm^{2}$
D.$(4\sqrt{41}+16)\pi\ cm^{2}$

2.D

圆锥底面圆半径$r = 4\space cm$，高$h = 5\space cm$。
母线长$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{16 + 25}=\sqrt{41}\space cm$。
底面积$S_{底}=\pi r^{2}=\pi×4^{2}=16\pi\space cm^{2}$。
侧面积$S_{侧}=\pi rl=\pi×4×\sqrt{41}=4\sqrt{41}\pi\space cm^{2}$。
全面积$S = S_{底}+S_{侧}=16\pi + 4\sqrt{41}\pi=(4\sqrt{41}+16)\pi\space cm^{2}$。
D

3. (山东聊城中考)已知圆锥形工件的底面圆的直径是$40\ cm$，母线长$30\ cm$，其侧面展开图的圆心角的度数为。

3.240°

圆锥形工件底面圆的直径为$40\ cm$，则底面圆的半径$r = \frac{40}{2} = 20\ cm$。
底面圆的周长$C = 2\pi r = 2\pi×20 = 40\pi\ cm$，此周长即为圆锥侧面展开图扇形的弧长$l$。
设侧面展开图的圆心角的度数为$n^{\circ}$，母线长$R = 30\ cm$。
根据扇形弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$，可得$40\pi=\frac{n\pi×30}{180}$。
解得$n = \frac{40\pi×180}{30\pi}=240$。
240°