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15. 用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下图,并探究和解决下列问题。
(1) 第$n$个图形中,每一横行共有 \underline{
(2) 在铺设第$n$个图形时,共用了多少块瓷砖？
(3) 如果每块灰瓷砖$4$元,每块白瓷砖$3$元,铺设第$10$个图形时,购买瓷砖共需多少钱？
(1) 第$n$个图形中,每一横行共有 \underline{
(n+3)
} 块瓷砖,每一竖列共有 \underline{(n+2)
} 块瓷砖。(2) 在铺设第$n$个图形时,共用了多少块瓷砖？
$(n+3)(n+2)$块
(3) 如果每块灰瓷砖$4$元,每块白瓷砖$3$元,铺设第$10$个图形时,购买瓷砖共需多少钱？
白瓷砖需$n(n+1)$块;当n=10时,白瓷砖需$10×11=110$(块)。灰瓷砖需$13×12-110=156-110=46$(块)。共需$110×3+46×4=514$(元)。
答案
解:
(1)$(n+3)$ $(n+2)$
(2)$(n+3)(n+2)$块
(3)白瓷砖需$n(n+1)$块;当n=10时,白瓷砖需$10×11=110$(块)。灰瓷砖需$13×12-110=156-110=46$(块)。共需$110×3+46×4=514$(元)。
(1)$(n+3)$ $(n+2)$
(2)$(n+3)(n+2)$块
(3)白瓷砖需$n(n+1)$块;当n=10时,白瓷砖需$10×11=110$(块)。灰瓷砖需$13×12-110=156-110=46$(块)。共需$110×3+46×4=514$(元)。
16. 如图所示的是小刚在电脑中设计的一个电子跳蚤,每跳一次包括上升和下降,即由点$A - B - C$为一个完整的动作。按照图中的规律,如果这个电子跳蚤落到$9$的位置,求它需要跳的次数。
答案
7
解析
解：观察图形，设跳的次数为$n$，落点位置为$y$。
第一次跳后落点$C$位置为$-3$；
第二次跳后落点位置为$-1$；
第三次跳后落点位置为$1$；
第四次跳后落点位置为$3$；
第五次跳后落点位置为$5$；
第六次跳后落点位置为$7$；
第七次跳后落点位置为$9$。
故需要跳的次数为$7$。
7
第一次跳后落点$C$位置为$-3$；
第二次跳后落点位置为$-1$；
第三次跳后落点位置为$1$；
第四次跳后落点位置为$3$；
第五次跳后落点位置为$5$；
第六次跳后落点位置为$7$；
第七次跳后落点位置为$9$。
故需要跳的次数为$7$。
7
17.(综合与实践)观察下列等式：
第一个等式：$a_{1} = \frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2}$。
第二个等式：$a_{2} = \frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$。
第三个等式：$a_{3} = \frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$。
……
根据上述等式,回答以下问题：
(1) 用含$n的代数式表示第n$个等式：
(2) 求$a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{20}$的值。
第一个等式：$a_{1} = \frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2}$。
第二个等式：$a_{2} = \frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$。
第三个等式：$a_{3} = \frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$。
……
根据上述等式,回答以下问题：
(1) 用含$n的代数式表示第n$个等式：
$a_{n}=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
。(2) 求$a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{20}$的值。
$\dfrac{20}{21}$
答案
(1)$a_{n}=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
(2)$\dfrac{20}{21}$
