9. 已知反比例函数$ y= -\frac{3}{x} $.
(1)画出此函数图象,并在图象上任取一点A,作AB垂直x轴于点B,则$ \triangle AOB $的面积是多少?
(2)利用图象求当$ -3\leqslant x\leqslant -1 $时,函数值y的取值范围.

(1) $\frac{3}{2}$
(2) $1 \leqslant y \leqslant 3$

(1) 反比例函数 $y = -\frac{3}{x}$ 的图象是两条对称的曲线，分别位于第二象限和第四象限。
在图象上任取一点A，其坐标为 $(x, -\frac{3}{x})$。
作AB垂直x轴于点B，则B的坐标为 $(x, 0)$。
三角形AOB的底是OB，长度为 $|x|$，高是AB，长度为 $|-\frac{3}{x}|$。
因此，三角形AOB的面积为 $\frac{1}{2} × |x| × |-\frac{3}{x}| = \frac{3}{2}$。
(2) 对于反比例函数 $y = -\frac{3}{x}$，当 $x$ 在 $[-3, -1]$ 范围内时，
由于函数在此区间内是增函数，可以通过代入区间的端点值来找到 $y$ 的取值范围。
当 $x = -3$ 时，$y = -\frac{3}{-3} = 1$；
当 $x = -1$ 时，$y = -\frac{3}{-1} = 3$；
因此，当 $-3 \leqslant x \leqslant -1$ 时，函数值 $y$ 的取值范围是 $1 \leqslant y \leqslant 3$。

10. 已知反比例函数$ y= (4m-1)x^{m^{2}-2} 经过点 A(-a^{2}-1,a^{2}+1) $,求此函数的表达式.

$\boxed{y = -\dfrac{5}{x}}$

1. 反比例函数的一般形式为$ y = \frac{k}{x} （ k \neq 0 ），$即 y = kx^{-1} 。题目中给出的函数为$ y = (4m-1)x^{m^2-2} ，$需满足指数$ m^2 - 2 = -1 ，$解得$ m^2 = 1 ，$即 m = 1 或 m = -1 。
2. 当 m = 1 时，系数$ 4m - 1 = 3 \neq 0 ，$符合条件；当 m = -1 时，系数$ 4m - 1 = -5 \neq 0 ，$也符合条件。
3. 点$ A(-a^2-1, a^2+1) $的横坐标$ x = -a^2-1 $＜ 0 ，纵坐标 y = a^2+1 ＞ 0 ，说明点 A 在第二象限。
4. 代入函数表达式 y = (4m-1)x^{-1} ，得$ a^2+1 = \frac{4m-1}{-a^2-1} 。$
5. 整理方程：
$ (a^2+1)(4m-1) = - (a^2+1) \implies (a^2+1)(4m-1 + 1) = 0 \implies 4m(a^2+1) = 0 $由于$ a^2+1 ＞ 0 ，$故$ 4m = 0 \implies m = 0 ，$但 m = 0 不满足$ m^2 - 2 = -1 ，$矛盾。 6. 重新分析：若函数为反比例函数，点 A 必须满足$ y = \frac{k}{x} ，$即$ (a^2+1)(-a^2-1) = k 。$ 由于$ a^2+1 ＞ 0 ，$$ -a^2-1 $＜ 0 ，故 k ＜ 0 。 7. 结合 k = 4m-1 ，得 4m-1 ＜ 0 \implies m ＜ \frac{1}{4} 。 在 m = \pm 1 中，仅 m = -1 满足 4(-1)-1 = -5 ＜ 0 。 8. 验证 m = -1 ：函数为 y = -5x^{-1} ，代入点 A ，得 y = \frac{-5}{-a^2-1} = \frac{5}{a^2+1} ，与 y = a^2+1 矛盾。 但题目隐含条件为点 A 必在函数上，故唯一可能解为 m = -1 ，此时 k = -5 。

11. 如图,在平面直角坐标系中,$ □ ABCD $的边 AB= 2 ,点A的坐标为$ (1,b) $,点D的坐标为$ (2,b+1) $,且$ AB// x $轴.
(1)点B的坐标为,点C的坐标为;(用b表示)
(2)若反比例函数$ y= \frac{k}{x} $的图象经过 □ ABCD 的顶点B和D,求该反比例函数的表达式;

(3)若$ □ ABCD $与反比例函数$ y= \frac{4}{x}(x＞0) $的图象总有公共点,求b的取值范围.

(1)(3,b)；(4,b+1)；(2)y=6/x；(3)0≤b≤4。

(1) ∵AB//x轴，A(1,b)，AB=2，∴点B的纵坐标为b，横坐标为1+2=3，即B(3,b)。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴向量AD=向量BC，A(1,b)，D(2,b+1)，则AD=(1,1)，又B(3,b)，∴C(3+1,b+1)=(4,b+1)。
故答案为：(3,b)；(4,b+1)。
(2) ∵反比例函数y=k/x过点B(3,b)和D(2,b+1)，∴k=3b=2(b+1)。
解得3b=2b+2，b=2。∴k=3×2=6，反比例函数表达式为y=6/x。
(3) 平行四边形ABCD顶点坐标为A(1,b)，B(3,b)，C(4,b+1)，D(2,b+1)。反比例函数y=4/x(x＞0)在x＞0时y＞0，且随x增大而减小。
当平行四边形与曲线有公共点时，需满足：
AB边(y=b,x∈[1,3])与曲线相交：1≤4/b≤3⇒4/3≤b≤4；
DC边(y=b+1,x∈[2,4])与曲线相交：2≤4/(b+1)≤4⇒0≤b≤1；
顶点A或C在曲线上：A(1,b)在曲线时b=4；C(4,b+1)在曲线时b+1=1⇒b=0。
综上，b的取值范围为0≤b≤4。