6. 若$\frac{b}{a}= \frac{5}{13}$,则$\frac{a-b}{a+b}= $.

$\frac{4}{9}$

首先，根据题目给出的比例关系，设 $b = 5k$ 和 $a = 13k$，其中 $k \neq 0$。
接着，将这些值代入目标表达式 $\frac{a-b}{a+b}$ 中，即：
$\frac{a-b}{a+b} = \frac{13k - 5k}{13k + 5k} = \frac{8k}{18k}$
然后，对分数进行约分，得到：
$\frac{8k}{18k} = \frac{4}{9}$

7. 如图①,已知直线$a// b// c$,直线 m,n 与直线 a,b,c 分别交于点 A,C,E,B,D,F,$AC= 4,CE= 6,BD= 3$,则$BF= $.

$\frac{15}{2}$

根据平行线分线段成比例定理，在平行线$a// b// c$被直线$m$、$n$所截时，有$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$。
已知$AC = 4$，$CE = 6$，$BD = 3$，代入可得$\frac{4}{6}=\frac{3}{DF}$，
通过交叉相乘可得$4× DF=3×6$，即$4DF = 18$，解得$DF=\frac{9}{2}$。
因为$BF=BD + DF$，所以$BF=3+\frac{9}{2}=\frac{6 + 9}{2}=\frac{15}{2}$。

8. 如图②所示,在$△ABC$中,$DE// BC,AD= 5,BD= 10,AE= 3$,则$CE= $.

6

根据平行线分线段成比例定理，在△ABC中，由于DE平行于BC，所以有：
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
代入已知条件AD=5，BD=10，AE=3，我们得到：
$\frac{5}{10} = \frac{3}{EC}$
交叉相乘，得到：
$5 × EC = 3 × 10$
$5 × EC = 30$
$EC = 6$

9. 如图,在梯形 ABCD 中,$AD// BC$,中位线 EF 与对角线 BD 交于点 G. 若$EG:GF= 2:3$,且$AD= 4$,求 BC 的长.

BC的长为6。

由于$EF$是梯形$ABCD$的中位线，因此$EF$平行于$AD$和$BC$，且$EF$的长度是$AD$和$BC$长度和的一半，即：
$EF=\frac{1}{2}(AD+BC)$。
根据题意，$EG:GF=2:3$，且$AD=4$。
设$EG=2k$，$GF=3k$，则$EF=EG+GF=2k+3k=5k$。
因为$EF=\frac{1}{2}(AD+BC)$，
所以$5k=\frac{1}{2}(4+BC)$。
又因为$EG=\frac{1}{2}AD=2$（$G$是$BD$的中点，$E$是$AB$的中点），
所以$k=1$，
代入$5k=\frac{1}{2}(4+BC)$，
解得$BC=6$。

10. 如图,在$△ABC$中,CD 平分$∠ACB$,过 D 作 BC 的平行线交 AC 于 M,若$BC= m,AC= n$,求 DM 的长.

$\frac{mn}{m + n}$

1. 已知CD是角平分线，所以$\angle ACD = \angle DCB$。
2. 因为DM平行于BC，根据平行线的性质，$\angle MDC = \angle DCB$。
3. 由$\angle ACD = \angle DCB$，可得$\angle ACD = \angle MDC$。
4. 因为$\angle ACD = \angle MDC$，所以三角形CDM是等腰三角形，即$DM = CM$。
5. 因为DM平行于BC，所以根据平行线分线段成比例定理，有$\frac{DM}{BC} = \frac{AM}{AC}$。
6. 设$DM = x$，则$CM = x$，$AM = n - x$。
7. 代入已知条件，$\frac{x}{m} = \frac{n - x}{n}$。
8. 交叉相乘得$xn = m(n - x)$。
9. 展开并整理得$xn = mn - mx$。
10. 移项得$x(n + m) = mn$。
11. 解得$x = \frac{mn}{m + n}$。

11. 请阅读以下内容,并解答相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图①,在$△ABC$中,AD 平分$∠BAC$,则$\frac{AB}{AC}= \frac{BD}{CD}$.下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图②,过点 C 作$CE// DA$,交 BA 的延长线于点 E……
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图③,已知$Rt△ABC$中,$AB= 3,BC= 4,∠ABC= 90^{\circ }$,AD 平分$∠BAC$,求$△ABD$的周长.

(1)见解析；(2)$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$

（1）证明:如图②,过点C作$CE// DA$,交BA的延长线于点E,
$\therefore \frac{BD}{CD}= \frac{BA}{AE}$,$\angle 2=\angle ACE,\angle 1=\angle E$.
$\because AD$平分$\angle BAC$,
$\therefore \angle 1=\angle 2$.
$\therefore \angle ACE=\angle E$.
$\therefore AE=AC$.
$\therefore \frac{AB}{AC}= \frac{BD}{CD}$.
（2）$\because Rt\triangle ABC$中,$AB= 3,BC= 4$,$\angle ABC= 90^{\circ }$,
$\therefore AC=5$。
$\because AD$平分$\angle BAC$,
$\therefore \frac{AC}{AB}= \frac{CD}{BD}$,
$\therefore \frac{5}{3}= \frac{CD}{BD}$，
即$\frac{BD}{CD}= \frac{3}{5}$。
$\because BD+CD=BC=4$。
$\therefore BD=\frac{3}{2}$。
$\therefore$在$Rt\triangle ABD$中,
$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{3^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
$\therefore \triangle ABD$的周长为:
$AB+BD+AD=3+\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$。