11. 如图,要求在$ l_1,l_2 $上找出 M,N 两点,使四边形 PQNM 的周长最小,在图上画出 M,N 的位置。

解:作P关于$l_1$的对称点$P'$，作Q关于$l_2$的对称点$Q'$；连接$P'Q'$，分别交$l_1$和$l_2$于点M和点N，则$PM + MN + QN = P'M + MN + Q'N = P'Q'$的值最小，所以此时$PQ + PM + MN + QN = PQ + P'Q'$的值最小，即四边形PQNM的周长最小。故图中的M，N两点就是所要求作的点。

12. 如图①,在∠AOB 内有一点 P,先作点 P 关于直线 OA 的对称点$ P_1,$再作点 P 关于直线 OB 的对称点$ P_2。$

(1) 猜想$∠P_1OP_2 $与∠AOB 的数量关系,并说明理由；
(2) 当点 P 在∠AOB 外部时,上述结论还成立吗？请在图②中画出相应的图形并说明理由。

解:
(1)$\angle P_1OP_2 = 2\angle AOB$。理由如下:如图1，因为点P关于直线OA的对称点为$P_1$，点P关于直线OB的对称点为$P_2$，所以$\angle1=\angle2$，$\angle3=\angle4$，所以$\angle P_1OP_2=\angle1+\angle2+\angle3+\angle4 = 2(\angle2+\angle3)=2\angle AOB$。

(2)$\angle P_1OP_2 = 2\angle AOB$成立。理由如下:如图2，因为点P关于直线OA的对称点为$P_1$，点P关于直线OB的对称点为$P_2$，所以$\angle1=\angle2$，$\angle POB=\angle BOP_2$，则$\angle1+\angle2+\angle3=\angle4$，所以$\angle P_1OP_2=\angle3+\angle4=\angle1+\angle2 + 2\angle3=2\angle2 + 2\angle3=2(\angle2+\angle3)=2\angle AOB$。