例 1 如图,点 D 在△ABC 的 BC 边上.
(1)作∠ADB 和∠ADC 的平分线 DM 和 DN,分别交 AB 于点 M,交 AC 于点 N(用尺规作图,不要求写作法,但保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,判断直线 DM 与 DN 的位置关系.

名师导引 仿照教材 49 页的“作法”,但在第二步中,必须以大于第一步中两个交点之间线段长的一半为半径画弧.

(1) 作图痕迹如下：
（以点 D 为顶点，分别作出∠ADB 和∠ADC 的平分线 DM、DN，交 AB 于 M，交 AC 于 N，保留尺规作图的弧线痕迹）
(2) DM ⊥ DN
证明：
∵ DM 平分∠ADB，DN 平分∠ADC，
∴ ∠ADM = ∠MDB = 1/2∠ADB，∠ADN = ∠NDC = 1/2∠ADC。
∵ 点 D 在 BC 上，∴ ∠ADB + ∠ADC = 180°（平角定义）。
∴ ∠MDN = ∠ADM + ∠ADN = 1/2∠ADB + 1/2∠ADC = 1/2(∠ADB + ∠ADC) = 1/2×180° = 90°。
∴ DM ⊥ DN。
结论：直线 DM 与 DN 的位置关系是垂直。

变式训练 如图,在钝角三角形 ABC 中,过钝角顶点 A 作 AD⊥AB 交 BC 于点 D.请用尺规作图法在 AB 边上求作一点 E,使得点 E 到 BC 的距离等于 AE 的长.(保留作图痕迹,不写作法)

作图步骤如下：
1. 以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD、BD于两点；
2. 分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离一半的长为半径画弧，在∠ADB内部交于一点；
3. 过点D和上述交点作射线，交AB于点E。
点E即为所求。

例 2 如图,在四边形 ABCD 中,BC ＞ BA,BD 平分∠ABC,∠BAD + ∠C = 180°.求证：AD = CD.

名师导引 (1)有角的平分线(或证明是角的平分线)时,常过角平分线上的点向两边作垂线段,利用角平分线上的点到角的两边的距离相等证明结论；(2)有线段和、差关系时,常用截长法或补短法作辅助线,化和、差关系为相等关系.

证明：过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°（平角定义），
∴∠EAD=∠C（同角的补角相等）。
在△AED和△CFD中，
∠EAD=∠C，
∠AED=∠CFD=90°，
DE=DF，
∴△AED≌△CFD（AAS）。
∴AD=CD（全等三角形的对应边相等）。

变式训练 如图,BD 是△ABC 的角平分线,∠C = 90°,CD = 3,△ABD 的面积是 15,则 AB 的长为.

10

过$D$作$DE\perp AB$于$E$，
因为$BD$是$\triangle ABC$的角平分线，$\angle C = 90^{\circ}$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$DE = CD = 3$。
已知$\triangle ABD$的面积是$15$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
这里底为$AB$，高为$DE$，
则$\frac{1}{2}× AB× DE = 15$，
把$DE = 3$代入可得$\frac{1}{2}× AB×3 = 15$，
即$\frac{3}{2}AB = 15$，
解得$AB = 10$。

1. 两个完全相同的三角板如图摆放,它们的一组对应直角边分别在 AB,AC 上,且这组对应边所对的顶点重合于点 M,则点 M 一定在()

A.AC 边的高上
B.∠A 的平分线上
C.BC 边的中线上

D.∠B 的平分线上

B

过点 M 作 MD⊥AB 于 D，ME⊥AC 于 E。由题意知两个三角板完全相同，且一组对应直角边分别在 AB、AC 上，对应顶点重合于 M，可得 MD=ME。根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，故点 M 在∠A 的平分线上。

2. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,AB = 8 cm,AC = 6 cm,则 $ S_{△ABD} : S_{△ACD} $ = ()

A.16 : 9
B.9 : 16
C.3 : 4
D.4 : 3

D

由于$AD$是$\bigtriangleup ABC$的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
设$\bigtriangleup ABD$的高为$h_1$（从$D$到$AB$的垂线），$\bigtriangleup ACD$的高也为$h_2$（从$D$到$AC$的垂线），由于$AD$是角平分线，所以$h_1 = h_2$。
根据三角形面积的计算公式，面积$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$，
所以，$S_{\bigtriangleup ABD} = \frac{1}{2} × AB × h_1$，
$S_{\bigtriangleup ACD} = \frac{1}{2} × AC × h_2$，
由于$h_1 = h_2$，可以将两个面积公式中的高消去，得到：
$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ACD}} = \frac{\frac{1}{2} × AB × h_1}{\frac{1}{2} × AC × h_2} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。

3. 如图,在 x 轴,y 轴上分别截取 OA,OB,使 OA = OB,再分别以点 A,B 为圆心,以大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长度为半径画弧,两弧交于点 C.若 C 的坐标为(2a - 2,10 - a),则 a = .

4

由题意，OA=OB，以A、B为圆心画弧交于点C，点C在∠AOB（直角）的平分线上，即第一象限角平分线y=x上。故点C横纵坐标相等，可得2a - 2 = 10 - a，解得3a=12，a=4。