1. 如图,一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点 O 到球心的长度为 50 cm,小球在左、右两个最高位置时,细绳相应所成的角∠AOB 为 40°,那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为()
A.$(50-50\sin40^{\circ})\ cm$
B.$(50-50\cos40^{\circ})\ cm$
C.$(50-50\sin20^{\circ})\ cm$
D.$(50-50\cos20^{\circ})\ cm$

D

连接AB，过O作AB的垂线，垂足为C，交劣弧AB于D。
∠AOB=40°，OA=OB=50cm，
则∠AOC=∠BOC=20°。
在Rt△AOC中，OC=OA·cos∠AOC=50cos20°cm。
OD=OA=50cm，
高度差CD=OD-OC=50-50cos20°cm。
D

2. 如图,某中学初三数学兴趣小组的学生用一个锐角是 30°的三角板测量教学楼 AB 的高度,已知测量人员与教学楼的水平距离 BC 为 18 m,测量人员的眼睛与地面的距离 CD 为 1.5 m,则教学楼的高度是m.

6√3 + 1.5

过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形，所以BE=CD=1.5m，DE=BC=18m。在Rt△ADE中，∠ADE=30°，tan∠ADE=AE/DE，所以AE=DE·tan30°=18×(√3/3)=6√3 m。教学楼高度AB=AE+BE=6√3 + 1.5 m。
6√3 + 1.5

3. 如图,要测量河内小岛 B 到河岸 L 的距离,在点 A 测得∠BAD= 30°,在点 C 测得∠BCD= 60°,又测得 AC= a m,则小岛 B 到河岸 L 的距离为m.

本题无选项，答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。

过点 B 作 BE⊥L 于点 E，设 BE = x m。
在 Rt△ABE 中，∠BAE = 30°，tan∠BAE = $\frac{BE}{AE}$，则 AE = $\frac{BE}{\tan30^\circ}$ = $\sqrt{3}x$ m。
在 Rt△CBE 中，∠BCE = 60°，tan∠BCE = $\frac{BE}{CE}$，则 CE = $\frac{BE}{\tan60^\circ}$ = $\frac{x}{\sqrt{3}}$ m。
因为 AC = AE - CE = a m，所以 $\sqrt{3}x - \frac{x}{\sqrt{3}} = a$。
化简得：$\frac{3x - x}{\sqrt{3}} = a$，$\frac{2x}{\sqrt{3}} = a$，解得 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
$\frac{\sqrt{3}}{2}a$

4. 如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 37°方向,距离灯塔 100 海里的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处.这时,B 处距离 A 处有多远?(参考数据:$\sin37^{\circ}\approx0.60$,$\cos37^{\circ}\approx0.80$,$\tan37^{\circ}\approx0.75$)

过点P作PC⊥AB，垂足为C。
在Rt△APC中，∠APC=37°，PA=100海里，
sin37°=PC/PA，得PC=PA·sin37°≈100×0.60=60海里，
cos37°=AC/PA，得AC=PA·cos37°≈100×0.80=80海里。
在Rt△BPC中，∠BPC=45°，
tan45°=BC/PC=1，得BC=PC=60海里。
AB=AC+BC=80+60=140海里。
答：B处距离A处140海里。