1. 已知α为锐角,且$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$,则α等于 ()
A.$45^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

A

已知α为锐角，且$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$。根据特殊角的三角函数值，当$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，α等于$45^{\circ}$。

2. $\tan30^{\circ}-\sin60^{\circ}$的值是 ()
A.$-\frac{\sqrt{3}}{6}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{4}{3}\sqrt{3}$

A

$\tan30^{\circ}-\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{6}-\frac{3\sqrt{3}}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$
A

3. 在$\triangle ABC$中,若$\angle A,\angle B满足|\sin A-\frac{\sqrt{3}}{2}|+(\cos B-\frac{1}{2})^{2}= 0$,则$\triangle ABC$是 ()
A.等腰(非等边)三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形

B

因为$| \sin A - \frac{\sqrt{3}}{2}| + (\cos B - \frac{1}{2})^{2} = 0$，且绝对值和平方数均为非负数，所以$\sin A - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$，$\cos B - \frac{1}{2} = 0$。
由$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\angle A = 60^\circ$或$\angle A = 120^\circ$；由$\cos B = \frac{1}{2}$，得$\angle B = 60^\circ$。
若$\angle A = 120^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，则$\angle A + \angle B = 180^\circ$，不符合三角形内角和定理，舍去。
故$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，所以$\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$，$\triangle ABC$是等边三角形。
B

4. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\sin A= \frac{1}{2}$,则$\tan B$的值为.

$\sqrt{3}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\sin A=\frac{1}{2}$，则$\angle A=30^{\circ}$，所以$\angle B=90^{\circ}-\angle A=60^{\circ}$，故$\tan B=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$

5. 如图,每个小正方形的边长都为1,点A,B,C都在小正方形的顶点上,则$\angle ABC$的正弦值为.

√5/5

连接AC，由图可知，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
因为$AC^2 + BC^2 = (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5 + 20 = 25 = AB^2$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle ACB=90^\circ$。
则$\sin\angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{\sqrt{5}}{5}$

6. 计算下列各式的值.
(1)$\sin45^{\circ}\cos45^{\circ}+4\tan30^{\circ}\sin60^{\circ}$;
(2)$\cos60^{\circ}-2\sin^{2}45^{\circ}+\frac{2}{3}\tan^{2}60^{\circ}-\sin30^{\circ}$.

(1) $\sin45^{\circ}\cos45^{\circ}+4\tan30^{\circ}\sin60^{\circ}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+4×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{2}{4}+4×\frac{3}{6}$
$=\frac{1}{2}+2$
$=\frac{5}{2}$
(2) $\cos60^{\circ}-2\sin^{2}45^{\circ}+\frac{2}{3}\tan^{2}60^{\circ}-\sin30^{\circ}$
$=\frac{1}{2}-2×\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\frac{2}{3}×(\sqrt{3})^{2}-\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}-2×\frac{2}{4}+\frac{2}{3}×3-\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}-1+2-\frac{1}{2}$
$=1$

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,垂足为D,$BC= 2$,$BD= \sqrt{3}$.求$\angle ACD$的大小.

在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BDC=90^{\circ}$，$BC=2$，$BD=\sqrt{3}$，
$\cos\angle B=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\because\angle B$为锐角，$\therefore\angle B=30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\angle A+\angle B=90^{\circ}$，$\angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle ADC=90^{\circ}$，
$\angle A+\angle ACD=90^{\circ}$，$\angle ACD=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
答：$\angle ACD$的大小为$30^{\circ}$。