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3. 某种原子的直径为$1.2 × 10^{-2}$纳米,$1.2 × 10^{-2}$用小数表示是
0.012
。答案
0.012
解析
题目中给出的数是$1.2×10^{-2}$，根据负整数指数幂的运算法则，$10^{-2}=\frac{1}{10^{2}} = 0.01$，则$1.2×10^{-2}=1.2×0.01 = 0.012$。
4. 人体内某种细胞可近似地看作球体,它的直径为0.000 000 156 m,0.000 000 156 m用科学记数法可表示为
$1.56 × 10^{-5}$
cm。答案
$1.56 × 10^{-5}$
解析
首先，需要将米转换为厘米，因为$1m = 100cm$，所以：
$0.000000156m = 0.000000156 × 100 cm = 0.0000156cm$，
接下来，将$0.0000156$转换为科学记数法。
为了将其转换为$1 \leq |a| ＜ 10$的形式，需要将小数点向右移动5位，得到$1.56$。
由于向右移动了5位，所以指数为$-5$，另外，由于原数小于1，所以使用负指数。
因此，$0.0000156$可以表示为$1.56 × 10^{-5}$。
$0.000000156m = 0.000000156 × 100 cm = 0.0000156cm$，
接下来，将$0.0000156$转换为科学记数法。
为了将其转换为$1 \leq |a| ＜ 10$的形式，需要将小数点向右移动5位，得到$1.56$。
由于向右移动了5位，所以指数为$-5$，另外，由于原数小于1，所以使用负指数。
因此，$0.0000156$可以表示为$1.56 × 10^{-5}$。
5. 计算：
(1)$(3 × 10^{4}) \cdot (2.4 × 10^{-9})$；
(2)$(6.4 × 10^{-5}) ÷ (2 × 10^{-3})$；
(3)$(3 × 10^{-5})^{2} × (2 × 10^{-9})^{2}$；
(4)$(4 × 10^{-3})^{2} ÷ (2 × 10^{-4})^{2}$。
(1)$(3 × 10^{4}) \cdot (2.4 × 10^{-9})$；
(2)$(6.4 × 10^{-5}) ÷ (2 × 10^{-3})$；
(3)$(3 × 10^{-5})^{2} × (2 × 10^{-9})^{2}$；
(4)$(4 × 10^{-3})^{2} ÷ (2 × 10^{-4})^{2}$。
答案
(1)
$(3×10^{4})\cdot(2.4×10^{-9})$
$=(3×2.4)×10^{4 + (-9)}$
$= 7.2×10^{-5}$
(2)
$(6.4×10^{-5})÷(2×10^{-3})$
$=(6.4÷2)×10^{-5-(-3)}$
$= 3.2×10^{-2}$
(3)
$(3×10^{-5})^{2}×(2×10^{-9})^{2}$
$=(3^{2}×(10^{-5})^{2})×(2^{2}×(10^{-9})^{2})$
$=(9×10^{-10})×(4×10^{-18})$
$=(9×4)×10^{-10 + (-18)}$
$= 36×10^{-28}$
$=3.6×10^{-27}$
(4)
$(4×10^{-3})^{2}÷(2×10^{-4})^{2}$
$=(4^{2}×(10^{-3})^{2})÷(2^{2}×(10^{-4})^{2})$
$=(16×10^{-6})÷(4×10^{-8})$
$=(16÷4)×10^{-6-(-8)}$
$=4×10^{2}$
$(3×10^{4})\cdot(2.4×10^{-9})$
$=(3×2.4)×10^{4 + (-9)}$
$= 7.2×10^{-5}$
(2)
$(6.4×10^{-5})÷(2×10^{-3})$
$=(6.4÷2)×10^{-5-(-3)}$
$= 3.2×10^{-2}$
(3)
$(3×10^{-5})^{2}×(2×10^{-9})^{2}$
$=(3^{2}×(10^{-5})^{2})×(2^{2}×(10^{-9})^{2})$
$=(9×10^{-10})×(4×10^{-18})$
$=(9×4)×10^{-10 + (-18)}$
$= 36×10^{-28}$
$=3.6×10^{-27}$
(4)
$(4×10^{-3})^{2}÷(2×10^{-4})^{2}$
$=(4^{2}×(10^{-3})^{2})÷(2^{2}×(10^{-4})^{2})$
$=(16×10^{-6})÷(4×10^{-8})$
$=(16÷4)×10^{-6-(-8)}$
$=4×10^{2}$
6. 甲种细胞的直径用科学记数法表示为$a_{1} × 10^{-6}$,乙种细胞的直径用科学记数法表示为$a_{2} × 10^{-6}$,若甲、乙两种细胞的直径差用科学记数法表示为$a_{3} × 10^{n}$,则$n$的值(
A.为$-5$
B.为$-5或-6$
C.为$-6$
D.不大于$-6$
D
)A.为$-5$
B.为$-5或-6$
C.为$-6$
D.不大于$-6$
答案
D
解析
甲、乙细胞直径分别为$a_1×10^{-6}$、$a_2×10^{-6}$，其中$1≤a_1＜10$，$1≤a_2＜10$。直径差为$|a_1 - a_2|×10^{-6}$，$|a_1 - a_2|$的范围是$0＜|a_1 - a_2|＜9$。
若$1≤|a_1 - a_2|＜9$，差为$|a_1 - a_2|×10^{-6}$，此时$n=-6$；
若$0＜|a_1 - a_2|＜1$，差可表示为$a_3×10^{n}$（如$0.1×10^{-6}=1×10^{-7}$），此时$n=-7,-8,\cdots$，即$n＜-6$。
综上，$n$不大于$-6$。
若$1≤|a_1 - a_2|＜9$，差为$|a_1 - a_2|×10^{-6}$，此时$n=-6$；
若$0＜|a_1 - a_2|＜1$，差可表示为$a_3×10^{n}$（如$0.1×10^{-6}=1×10^{-7}$），此时$n=-7,-8,\cdots$，即$n＜-6$。
综上，$n$不大于$-6$。
7. 某种液体每升含有10的11次方个有害细菌。有一种杀菌剂1滴可以杀死10的9次方个此种有害细菌。若要将12 L该种液体中的有害细菌全部杀死,需要用这种杀菌剂多少滴？合多少升？(10滴这种杀菌剂为$10^{-3}$升)
答案
1. 计算12L液体中有害细菌总数：$12 × 10^{11} = 1.2 × 10^{12}$（个）
2. 计算所需杀菌剂滴数：$\frac{1.2 × 10^{12}}{10^9} = 1.2 × 10^{3} = 1200$（滴）
3. 计算杀菌剂体积：$\frac{1200}{10} × 10^{-3} = 120 × 10^{-3} = 0.12$（升）
结论：需要用这种杀菌剂1200滴，合0.12升。
2. 计算所需杀菌剂滴数：$\frac{1.2 × 10^{12}}{10^9} = 1.2 × 10^{3} = 1200$（滴）
3. 计算杀菌剂体积：$\frac{1200}{10} × 10^{-3} = 120 × 10^{-3} = 0.12$（升）
结论：需要用这种杀菌剂1200滴，合0.12升。
分式方程：方程中只含有分式或整式,且
增根：将分式方程化为整式方程后,若解得整式方程的根使最简公分母为0,那么这个根叫作原分式方程的增根。
思考 怎么理解解分式方程得到增根？
填空 若关于x的分式方程$\frac{a}{x - 1} + \frac{3}{x} = \frac{b}{x(x - 1)}$有增根,则增根可能是
分式
中含有未知数的方程。增根：将分式方程化为整式方程后,若解得整式方程的根使最简公分母为0,那么这个根叫作原分式方程的增根。
思考 怎么理解解分式方程得到增根？
填空 若关于x的分式方程$\frac{a}{x - 1} + \frac{3}{x} = \frac{b}{x(x - 1)}$有增根,则增根可能是
$x = 0$或$x = 1$
。答案
增根可能是 $x = 0$ 或 $x = 1$（由于题目要求填空，且未给出选项，故此处直接给出答案，若为选择题，则根据选项选择对应答案）。
解析
分式方程定义部分应填：分母。
对于给定的分式方程 $\frac{a}{x - 1} + \frac{3}{x} = \frac{b}{x(x - 1)}$，
首先，我们找出该方程的最简公分母，即 $x(x - 1)$。
增根是使得最简公分母为0的x值，因此我们设 $x(x - 1) = 0$，
解得 $x = 0$ 或 $x = 1$。
所以，增根可能是 $x = 0$ 或 $x = 1$。
对于给定的分式方程 $\frac{a}{x - 1} + \frac{3}{x} = \frac{b}{x(x - 1)}$，
首先，我们找出该方程的最简公分母，即 $x(x - 1)$。
增根是使得最简公分母为0的x值，因此我们设 $x(x - 1) = 0$，
解得 $x = 0$ 或 $x = 1$。
所以，增根可能是 $x = 0$ 或 $x = 1$。
例1 下列方程中是关于x的分式方程的是
①$\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x + 4 = 0$； ②$\frac{1}{x + 2} = 6$；
③$\frac{a}{x} = 4$； ④$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 1$； ⑤$\frac{x}{a} = 4$；
⑥$\frac{x - 1}{4} + \frac{x - 1}{3} = 2$。
名师导引 判断的依据是分式方程的定义。
②③④
。①$\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x + 4 = 0$； ②$\frac{1}{x + 2} = 6$；
③$\frac{a}{x} = 4$； ④$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 1$； ⑤$\frac{x}{a} = 4$；
⑥$\frac{x - 1}{4} + \frac{x - 1}{3} = 2$。
名师导引 判断的依据是分式方程的定义。
答案
②③④
解析
分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
①$\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x + 4 = 0$，分母中不含未知数，是整式方程，不是分式方程。
②$\frac{1}{x + 2} = 6$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
③$\frac{a}{x} = 4$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
④$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 1$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
⑤$\frac{x}{a} = 4$，分母中不含未知数，是整式方程，不是分式方程。
⑥$\frac{x - 1}{4} + \frac{x - 1}{3} = 2$，分母中不含未知数，是整式方程，不是分式方程。
①$\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x + 4 = 0$，分母中不含未知数，是整式方程，不是分式方程。
②$\frac{1}{x + 2} = 6$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
③$\frac{a}{x} = 4$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
④$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 1$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
⑤$\frac{x}{a} = 4$，分母中不含未知数，是整式方程，不是分式方程。
⑥$\frac{x - 1}{4} + \frac{x - 1}{3} = 2$，分母中不含未知数，是整式方程，不是分式方程。
变式训练 下列是分式方程的是()
A.$\frac{x + 1}{3} = \frac{x}{5}$
B.$\frac{x - 1}{\pi} + 2x = 1$
C.$\frac{x + 1}{x} - \frac{3}{x^2} = 2$
D.$\frac{1}{a} - \frac{a}{a + 2}$
A.$\frac{x + 1}{3} = \frac{x}{5}$
B.$\frac{x - 1}{\pi} + 2x = 1$
C.$\frac{x + 1}{x} - \frac{3}{x^2} = 2$
D.$\frac{1}{a} - \frac{a}{a + 2}$
答案
1. 首先明确分式方程的定义：
分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程叫做分式方程。
2. 然后分析选项A：
方程$\frac{x + 1}{3}=\frac{x}{5}$，分母分别是$3$和$5$，分母中不含有未知数，它是整式方程。
3. 接着分析选项B：
方程$\frac{x - 1}{\pi}+2x = 1$，分母是$\pi$（$\pi$是一个常数，$\pi\approx3.14$），分母中不含有未知数，它是整式方程。
4. 再分析选项C：
方程$\frac{x + 1}{x}-\frac{3}{x^{2}} = 2$，分母分别是$x$和$x^{2}$，分母中含有未知数$x$，它是分式方程。
5. 最后分析选项D：
$\frac{1}{a}-\frac{a}{a + 2}$它不是方程，因为它不是等式。
所以答案是C。
分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程叫做分式方程。
2. 然后分析选项A：
方程$\frac{x + 1}{3}=\frac{x}{5}$，分母分别是$3$和$5$，分母中不含有未知数，它是整式方程。
3. 接着分析选项B：
方程$\frac{x - 1}{\pi}+2x = 1$，分母是$\pi$（$\pi$是一个常数，$\pi\approx3.14$），分母中不含有未知数，它是整式方程。
4. 再分析选项C：
方程$\frac{x + 1}{x}-\frac{3}{x^{2}} = 2$，分母分别是$x$和$x^{2}$，分母中含有未知数$x$，它是分式方程。
5. 最后分析选项D：
$\frac{1}{a}-\frac{a}{a + 2}$它不是方程，因为它不是等式。
所以答案是C。
解析
分式方程是分母中含有未知数的方程。A选项分母为3、5，是常数，不是分式方程；B选项分母为π，是常数，不是分式方程；C选项分母为x、x²，含有未知数，是分式方程；D选项不是等式，不是方程。
例2 解下列分式方程：
(1)$\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x}$； (2)$\frac{x^2 - 3x}{x - 2} + \frac{x^2 - 2}{2 - x} = 1$；
(3)$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x^2 - 1}$。
名师导引 分式方程的求解步骤：去分母、解整式方程、验根、下结论。特别注意要验根。
(1)$\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x}$； (2)$\frac{x^2 - 3x}{x - 2} + \frac{x^2 - 2}{2 - x} = 1$；
(3)$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x^2 - 1}$。
名师导引 分式方程的求解步骤：去分母、解整式方程、验根、下结论。特别注意要验根。
答案
(1)
方程$\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x}$两边同乘$x(x - 2)$得：
$3x = 5(x - 2)$
$3x = 5x - 10$
$5x - 3x = 10$
$2x = 10$
$x = 5$
检验：当$x = 5$时，$x(x - 2)=5×(5 - 2)=15\neq 0$
所以原分式方程的解为$x = 5$。
(2)
方程$\frac{x^2 - 3x}{x - 2} + \frac{x^2 - 2}{2 - x} = 1$可化为：
$\frac{x^2 - 3x}{x - 2}-\frac{x^2 - 2}{x - 2}=1$
方程两边同乘$x - 2$得：
$x^2 - 3x-(x^2 - 2)=x - 2$
$x^2 - 3x - x^2 + 2=x - 2$
$-3x + 2=x - 2$
$-3x - x=-2 - 2$
$-4x=-4$
$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$x - 2=1 - 2=-1\neq 0$
所以原分式方程的解为$x = 1$。
(3)
方程$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x^2 - 1}$，
因为$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$得：
$x + 1+2(x - 1)=2$
$x + 1+2x - 2=2$
$3x - 1=2$
$3x=3$
$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$(x + 1)(x - 1)=(1 + 1)×(1 - 1)=0$
所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。
方程$\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x}$两边同乘$x(x - 2)$得：
$3x = 5(x - 2)$
$3x = 5x - 10$
$5x - 3x = 10$
$2x = 10$
$x = 5$
检验：当$x = 5$时，$x(x - 2)=5×(5 - 2)=15\neq 0$
所以原分式方程的解为$x = 5$。
(2)
方程$\frac{x^2 - 3x}{x - 2} + \frac{x^2 - 2}{2 - x} = 1$可化为：
$\frac{x^2 - 3x}{x - 2}-\frac{x^2 - 2}{x - 2}=1$
方程两边同乘$x - 2$得：
$x^2 - 3x-(x^2 - 2)=x - 2$
$x^2 - 3x - x^2 + 2=x - 2$
$-3x + 2=x - 2$
$-3x - x=-2 - 2$
$-4x=-4$
$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$x - 2=1 - 2=-1\neq 0$
所以原分式方程的解为$x = 1$。
(3)
方程$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x^2 - 1}$，
因为$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$得：
$x + 1+2(x - 1)=2$
$x + 1+2x - 2=2$
$3x - 1=2$
$3x=3$
$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$(x + 1)(x - 1)=(1 + 1)×(1 - 1)=0$
所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。
