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变式训练 把下列式子填在相应的大括号里：$0$,$\frac{1}{x + 2}$,$\frac{a}{2}+b$,$a^{2}-\pi r^{2}$,$\frac{x^{2}}{\pi}$,$x - 1$.
单项式：…$\{ \}$；
多项式：…$\{ \}$；
整式：…$\{ \}$.
单项式：…$\{ \}$；
多项式：…$\{ \}$；
整式：…$\{ \}$.
答案
单项式：$\{ 0, \frac{x^{2}}{\pi} \}$；
多项式：$\{ \frac{a}{2}+b, a^{2}-\pi r^{2}, x - 1 \}$；
整式：$\{ 0, \frac{a}{2}+b, a^{2}-\pi r^{2}, \frac{x^{2}}{\pi}, x - 1 \}$.
多项式：$\{ \frac{a}{2}+b, a^{2}-\pi r^{2}, x - 1 \}$；
整式：$\{ 0, \frac{a}{2}+b, a^{2}-\pi r^{2}, \frac{x^{2}}{\pi}, x - 1 \}$.
例2 (1) 多项式 $-2xy+\frac{1}{3}xy^{2}+3$ 是
(2) 多项式 $\frac{1}{3}x^{\vert m\vert}-(m - 2)x + 5$ 是关于 $x$ 的二次三项式,则 $m=$
三
次三
项式,它的各项分别是$-2xy$，$\frac{1}{3}xy^{2}$，$3$
,其中最高次项是$\frac{1}{3}xy^{2}$
,最高次项的系数是$\frac{1}{3}$
,常数项是$3$
.(2) 多项式 $\frac{1}{3}x^{\vert m\vert}-(m - 2)x + 5$ 是关于 $x$ 的二次三项式,则 $m=$
$-2$
.答案
(1) 三，三，$-2xy$，$\frac{1}{3}xy^{2}$，$3$，$\frac{1}{3}xy^{2}$，$\frac{1}{3}$，$3$；
(2) $-2$
(2) $-2$
解析
(1)
数多项式的项数：几个单项式的和叫做多项式，在多项式$-2xy+\frac{1}{3}xy^{2}+3$中，有三个单项式，所以它是三项式。
确定多项式的次数：在多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数，在$-2xy$中，次数为$1 + 1=2$；在$\frac{1}{3}xy^{2}$中，次数为$1+2 = 3$；$3$是常数项，次数为$0$，所以该多项式是三次三项式。
找出各项：它的各项分别是$-2xy$，$\frac{1}{3}xy^{2}$，$3$。
确定最高次项及系数：最高次项是$\frac{1}{3}xy^{2}$，其系数是$\frac{1}{3}$。
找出常数项：常数项是$3$。
(2)
因为多项式$\frac{1}{3}x^{\vert m\vert}-(m - 2)x + 5$是关于$x$的二次三项式，所以$\vert m\vert=2$，则$m=\pm2$。
又因为多项式是三项式，所以$-(m - 2)\neq0$，即$m\neq2$，所以$m=-2$。
数多项式的项数：几个单项式的和叫做多项式，在多项式$-2xy+\frac{1}{3}xy^{2}+3$中，有三个单项式，所以它是三项式。
确定多项式的次数：在多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数，在$-2xy$中，次数为$1 + 1=2$；在$\frac{1}{3}xy^{2}$中，次数为$1+2 = 3$；$3$是常数项，次数为$0$，所以该多项式是三次三项式。
找出各项：它的各项分别是$-2xy$，$\frac{1}{3}xy^{2}$，$3$。
确定最高次项及系数：最高次项是$\frac{1}{3}xy^{2}$，其系数是$\frac{1}{3}$。
找出常数项：常数项是$3$。
(2)
因为多项式$\frac{1}{3}x^{\vert m\vert}-(m - 2)x + 5$是关于$x$的二次三项式，所以$\vert m\vert=2$，则$m=\pm2$。
又因为多项式是三项式，所以$-(m - 2)\neq0$，即$m\neq2$，所以$m=-2$。
变式训练 多项式 $-2a^{2}+7ab^{2}c + 3a^{2}b-1$ 是
四
次四
项式,它的最高次项系数是7
,二次项的系数是-2
,常数项是-1
.答案
（该题为填空题，无选项）
解析
多项式为$-2a^{2}+7ab^{2}c + 3a^{2}b-1$，
它包含四个项，分别是$-2a^{2}$，$7ab^{2}c$，$3a^{2}b$和$-1$，
考虑最高次项，需要找到次数最高的项，
$7ab^{2}c$的次数为$1+2+1=4$（a的次数为1，b的次数为2，c的次数为1），
$3a^{2}b$的次数为$2+1=3$，
$-2a^{2}$的次数为2，
$-1$是常数项，次数为0，
所以，这是一个四次多项式，
最高次项是$7ab^{2}c$，其系数是7，
二次项是$-2a^{2}$，其系数是-2，
常数项是-1，
该多项式是四项式，
所以多项式$-2a^{2}+7ab^{2}c + 3a^{2}b-1$是四次四项式，
综上所述，答案为：四；四；7；-2；-1。
它包含四个项，分别是$-2a^{2}$，$7ab^{2}c$，$3a^{2}b$和$-1$，
考虑最高次项，需要找到次数最高的项，
$7ab^{2}c$的次数为$1+2+1=4$（a的次数为1，b的次数为2，c的次数为1），
$3a^{2}b$的次数为$2+1=3$，
$-2a^{2}$的次数为2，
$-1$是常数项，次数为0，
所以，这是一个四次多项式，
最高次项是$7ab^{2}c$，其系数是7，
二次项是$-2a^{2}$，其系数是-2，
常数项是-1，
该多项式是四项式，
所以多项式$-2a^{2}+7ab^{2}c + 3a^{2}b-1$是四次四项式，
综上所述，答案为：四；四；7；-2；-1。
1. 在下列代数式：$\frac{1}{2}ab$,$\frac{a + b}{2}$,$ab^{2}+b + 1$,$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}$,$x^{3}+x^{2}-3$,$\pi + 2$,$\frac{3a + 2}{5x}$中,多项式有(
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
B
)A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
答案
B
解析
多项式是几个单项式的和。$\frac{1}{2}ab$是单项式；$\frac{a + b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}$，是多项式；$ab^{2}+b + 1$是多项式；$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}$分母含字母，不是整式，不是多项式；$x^{3}+x^{2}-3$是多项式；$\pi + 2$是单项式；$\frac{3a + 2}{5x}$分母含字母，不是整式，不是多项式。综上，多项式有3个。
2. 多项式 $-2x^{2}+3x - 1$ 的各项分别是(
A.$-2x^{2}$,$3x$,$-1$
B.$-2x^{2}$,$3x$,$1$
C.$2x^{2}$,$3x$,$1$
D.$2x^{2}$,$3x$,$-1$
A
)A.$-2x^{2}$,$3x$,$-1$
B.$-2x^{2}$,$3x$,$1$
C.$2x^{2}$,$3x$,$1$
D.$2x^{2}$,$3x$,$-1$
答案
A
解析
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，包括前面的符号。多项式$-2x^{2}+3x - 1$由$-2x^{2}$、$3x$、$-1$这三个单项式组成，所以各项分别是$-2x^{2}$，$3x$，$-1$。
3. 关于多项式 $-x^{3}y+xy - 7$,下列说法错误的是(
A.是四次三项式
B.最高次项的系数是$-1$
C.不含二次项
D.常数项是$-7$
C
)A.是四次三项式
B.最高次项的系数是$-1$
C.不含二次项
D.常数项是$-7$
答案
C
解析
该多项式为 $-x^{3}y + xy - 7$。
A选项：多项式的次数由最高次项 $-x^{3}y$ 决定，次数为 $3+1=4$，且该多项式有三个项，因此是四次三项式，A正确。
B选项：最高次项是 $-x^{3}y$，其系数是 $-1$，B正确。
C选项：二次项是指次数为2的项，该多项式中 $xy$ 的次数为 $1+1=2$，即包含二次项，所以“不含二次项”的说法错误，C错误。
D选项：常数项为 $-7$，D正确。
A选项：多项式的次数由最高次项 $-x^{3}y$ 决定，次数为 $3+1=4$，且该多项式有三个项，因此是四次三项式，A正确。
B选项：最高次项是 $-x^{3}y$，其系数是 $-1$，B正确。
C选项：二次项是指次数为2的项，该多项式中 $xy$ 的次数为 $1+1=2$，即包含二次项，所以“不含二次项”的说法错误，C错误。
D选项：常数项为 $-7$，D正确。
4. 若 $(a - 4)x^{\vert a\vert - 2}y^{3}-(b - 2)xy^{2}+x^{3}+5$ 是五次三项式,则 $a=$
-4
,$b=$2
.答案
-4,2
解析
多项式次数为最高次项次数，项数为单项式个数。
1. 确定最高次项：第一项次数为$\vert a\vert - 2 + 3 = \vert a\vert + 1$，第二项、第三项次数为3，第四项为0。因多项式五次，故$\vert a\vert + 1 = 5$，解得$\vert a\vert = 4$，$a = \pm 4$。又第一项系数$a - 4 \neq 0$（否则第一项为0），故$a \neq 4$，则$a = -4$。
2. 确定项数：原多项式有四项，需一项系数为0。第三项、第四项系数非0，故第二项系数$-(b - 2) = 0$，解得$b = 2$。
1. 确定最高次项：第一项次数为$\vert a\vert - 2 + 3 = \vert a\vert + 1$，第二项、第三项次数为3，第四项为0。因多项式五次，故$\vert a\vert + 1 = 5$，解得$\vert a\vert = 4$，$a = \pm 4$。又第一项系数$a - 4 \neq 0$（否则第一项为0），故$a \neq 4$，则$a = -4$。
2. 确定项数：原多项式有四项，需一项系数为0。第三项、第四项系数非0，故第二项系数$-(b - 2) = 0$，解得$b = 2$。
5. 一个只含有字母 $a$ 的二次三项式,它的二次项系数为$-1$,一次项系数为$-3$,常数项为$-1$,则这个多项式为
$-a^2 - 3a - 1$
.答案
$-a^2 - 3a - 1$
解析
二次项为$-1 \cdot a^2 = -a^2$，一次项为$-3 \cdot a = -3a$，常数项为$-1$，所以这个多项式为$-a^2 - 3a - 1$。
6. 已知关于 $a$ 的多项式 $3a^{4}-(m + 5)a^{3}+(n - 1)a^{2}-5a + 3$ 不含 $a^{3}$ 项和 $a^{2}$ 项,求 $m$,$n$ 的值.
答案
因为多项式不含$a^3$项和$a^2$项，所以$a^3$项和$a^2$项的系数为$0$。
对于$a^3$项：系数为$-(m + 5)$，则$-(m + 5)=0$，解得$m=-5$。
对于$a^2$项：系数为$n - 1$，则$n - 1=0$，解得$n=1$。
综上，$m=-5$，$n=1$。
对于$a^3$项：系数为$-(m + 5)$，则$-(m + 5)=0$，解得$m=-5$。
对于$a^2$项：系数为$n - 1$，则$n - 1=0$，解得$n=1$。
综上，$m=-5$，$n=1$。
7. 观察一组按规律排列的代数式：$a + 2b$,$a^{2}-2b^{3}$,$a^{3}+2b^{5}$,$a^{4}-2b^{7}$,… 第 $n$ 个式子是
$a^n + (-1)^{n+1} \cdot 2b^{2n-1}$
. ($n$ 为正整数)答案
第n个式子的各项规律分析如下：
1. 第一项：底数为a，指数依次为1,2,3,4,…，故第n项为$a^n$；
2. 第二项符号：正负交替，n=1时为正，n=2时为负，可用$(-1)^{n+1}$表示；
3. 第二项系数绝对值：均为2，结合符号得系数为$2(-1)^{n+1}$；
4. 第二项中b的指数：依次为1,3,5,7,…，是首项1、公差2的等差数列，通项为$2n-1$，故该项为$2(-1)^{n+1}b^{2n-1}$。
综上，第n个式子是$a^n + (-1)^{n+1} \cdot 2b^{2n-1}$。
$a^n + (-1)^{n+1} \cdot 2b^{2n-1}$
1. 第一项：底数为a，指数依次为1,2,3,4,…，故第n项为$a^n$；
2. 第二项符号：正负交替，n=1时为正，n=2时为负，可用$(-1)^{n+1}$表示；
3. 第二项系数绝对值：均为2，结合符号得系数为$2(-1)^{n+1}$；
4. 第二项中b的指数：依次为1,3,5,7,…，是首项1、公差2的等差数列，通项为$2n-1$，故该项为$2(-1)^{n+1}b^{2n-1}$。
综上，第n个式子是$a^n + (-1)^{n+1} \cdot 2b^{2n-1}$。
$a^n + (-1)^{n+1} \cdot 2b^{2n-1}$
