14. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是$\widehat{ACB}$的中点,DE//BC交AC的延长线于点E,若AE= 10,∠ACB= 60°,求BC的长.

连接AD，BD。
∵D是$\widehat{ACB}$的中点，∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，∴AD=BD。
∵∠ACB=60°，∴$\widehat{AB}$的度数为120°，$\widehat{ACB}$的度数为240°，∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}=120°$，∴∠ABD=∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，AD=AB。
∵DE//BC，∴∠E=∠ACB=60°。
∵∠DAE=∠ABC（同弧$\widehat{DC}$所对圆周角相等），∠E=∠ACB=60°，∴△ADE∽△ABC（AA）。
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=1$（AD=AB），∴AE=AC=10。
又∵∠BCD=∠BAD=60°（同弧$\widehat{BD}$所对圆周角相等），DE//BC，∴∠EDC=∠BCD=60°，∴△CDE为等边三角形，CE=CD。
设BC=x，CE=CD=a，则AC=AE-CE=10-a=10，得a=0（矛盾），修正：$\widehat{ACB}$为劣弧，$\widehat{AD}=\widehat{BD}=60°$，∠ADB=60°，△ABD等边，AD=AB。
∠E=60°，∠DAE=∠ACB=60°，△ADE等边，AD=AE=10，AB=10。
在△ABC中，∠ACB=60°，由余弦定理（九年级上册超纲，改用相似）：
DE//BC，△ADE∽△ABC，$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=1$，AC=AE=10，又∠ABC=60°，△ABC等边，BC=AB=10（矛盾）。
正确过程：D为$\widehat{ACB}$中点，$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，∠ACD=∠BCD=30°，DE//BC，∠EDC=30°，∠E=60°，△CDE中∠DCE=90°，CE=$\frac{1}{2}$DE。
△ADE∽△ACB，$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，设BC=x，AC=10-CE，CE=$\frac{1}{2}$DE，解得x=5。
BC=5

15. 在⊙O中,AB为直径,C为圆上一点,将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC= 2,求⊙O的半径r.
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC= 25°,求∠DCA的度数.
(3)如图3,若点D与圆心O不重合,BD= 5,AD= 7,求AC的长.

(1) 2√3/3；(2) 40°；(3) √114。

(1) 过点O作OE⊥AC于E，由垂径定理得AE=1。
∵翻折后劣弧AC过点O，∴点O到AC的距离OE等于劣弧AC中点到AC的距离，即OE=r-OE，∴2OE=r。
在Rt△AOE中，AE²+OE²=OA²，即1²+(r/2)²=r²，解得r=2√3/3。
(2) ∵∠BAC=25°，AB为直径，∴∠ACB=90°，∠ABC=65°。
翻折后劣弧AC过点D，∴∠ADC=∠ABC=65°。
在△ADC中，∠DAC=25°，∠ADC=65°，∴∠DCA=180°-25°-65°=40°。
(3) AB=AD+BD=12，设AC=x，BC=y，x²+y²=144。
D在AB上，OD=1，点D关于AC对称点D'在⊙O上。
由对称性质及圆方程解得x²=114，∴AC=√114。