9. 如图,点A,B,C在⊙O上,AC是⊙O的内接正六边形的一边,BC是⊙O的内接正八边形的一边,AB能否成为⊙O的内接正n边形的一边？如果能,求出n的值；如果不能,请说明理由.

n=24.

连接OA，OB，OC。
∵AC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC=$\frac{360^\circ}{6}$=60°。
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC=$\frac{360^\circ}{8}$=45°。
∴∠AOB=∠AOC - ∠BOC=60° - 45°=15°。
∵n=$\frac{360^\circ}{\angle AOB}$=$\frac{360^\circ}{15^\circ}$=24，
∴AB能成为⊙O的内接正24边形的一边，n=24。

10. 如图,已知⊙O和⊙O上的一点A,请完成下列任务：
(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状并加以证明.

(1) ①以点A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点B；②以点B为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点C；③同理依次画弧得点D、E、F；④连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，六边形ABCDEF即为所求.
(2) 四边形BCEF是矩形.
证明：设⊙O半径为R，正六边形ABCDEF中，AB=BC=CD=DE=EF=FA=R，中心角均为60°.
∵B、C、E、F在⊙O上，∴BC=EF=R（正六边形边长相等）.
C、E所对圆心角为∠COE=2×60°=120°，弦CE=2Rsin60°=√3R；B、F所对圆心角为∠BOF=2×60°=120°，弦BF=2Rsin60°=√3R，∴CE=BF.
由正六边形对称性，BC//EF，BF//CE，∴四边形BCEF是平行四边形.
又∵BC⊥BF（BC为水平弦，BF为竖直弦，夹角90°），∴∠CBF=90°，故四边形BCEF是矩形.

11. 在学习圆与正多边形时,马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：
① 如图,作直径AD；
② 作半径OD的垂直平分线,交⊙O于B,C两点；
③ 连接AB,AC,BC,那么△ABC为所求的三角形.
请你判断两位同学的作法是否正确,如果正确,请你按照两位同学设计的画法,画出△ABC,然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确,请说明理由.

正确。
证明：设⊙O半径为r，连接OB,OC。
∵AD为直径，∴OA=OD=r，∠AOD=180°。
∵BC垂直平分OD，设垂足为E，则OE=ED=r/2，∠OEB=90°。
在Rt△OBE中，cos∠BOE=OE/OB=(r/2)/r=1/2，∴∠BOE=60°。
同理∠COE=60°。
∴∠AOB=∠AOD-∠BOE=180°-60°=120°，
∠AOC=∠AOD-∠COE=180°-60°=120°，
∠BOC=∠BOE+∠COE=60°+60°=120°。
∵∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，
∴AB=AC=BC（同圆中相等圆心角所对弦相等）。
∴△ABC是等边三角形。