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7. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上的一点,C为$\widehat{BD}$的中点.若∠DCE= 110°,求∠BAC的大小.
答案
55°
解析
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCE=∠BAD=110°。
∵C为$\widehat{BD}$的中点，
∴$\widehat{BC}=\widehat{DC}$，
∴∠BAC=∠DAC。
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠BAC，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}×110^{\circ}=55^{\circ}$。
55°
8. 如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E.若BC= BE.求证:△ADE是等腰三角形.
答案
证明：
$\because BC=BE$，
$\therefore \angle BCE=\angle BEC$。
$\because \angle DAB=\angle BCE$（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），
$\therefore \angle DAB=\angle BEC$。
$\because \angle DAB$与$\angle DAE$是同一个角，
$\therefore \angle DAE=\angle BEC$。
$\therefore \triangle ADE$是等腰三角形。
$\because BC=BE$，
$\therefore \angle BCE=\angle BEC$。
$\because \angle DAB=\angle BCE$（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），
$\therefore \angle DAB=\angle BEC$。
$\because \angle DAB$与$\angle DAE$是同一个角，
$\therefore \angle DAE=\angle BEC$。
$\therefore \triangle ADE$是等腰三角形。
9. 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,$\widehat{AD}= \widehat{BD}$,AC为直径,过点D作BC的垂线,垂足为E.
(1)求证:CD平分∠ACE.
(2)若AC= 9,CE= 3,则CD的长为
(1)求证:CD平分∠ACE.
(2)若AC= 9,CE= 3,则CD的长为
3√3
.答案
(1)证明：
∵AC为⊙O直径，∴∠ADC=90°（直径所对圆周角是直角）。
∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，故∠ADC=∠DEC。
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠BCD+∠DCE=180°（平角定义），∴∠BAD=∠DCE（同角的补角相等）。
∵$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，∴∠BAD=∠ACD（等弧所对圆周角相等）。
∴∠ACD=∠DCE，即CD平分∠ACE。
(2)3√3
∵AC为⊙O直径，∴∠ADC=90°（直径所对圆周角是直角）。
∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，故∠ADC=∠DEC。
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠BCD+∠DCE=180°（平角定义），∴∠BAD=∠DCE（同角的补角相等）。
∵$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，∴∠BAD=∠ACD（等弧所对圆周角相等）。
∴∠ACD=∠DCE，即CD平分∠ACE。
(2)3√3
