14. 若分式方程$\frac {a}{x+2}-1= \frac {x}{x+2}$的解是负数,则$a$的取值范围是.

$a ＜ 2$且$a \neq -2$（或表示为$a\in (-\infty ,-2)\cup (-2,2)$）。

首先去分母，方程两边同乘以$x+2$，得到：$a - (x + 2) = x$，
整理得：$2x = a - 2$，
所以$x = \frac{a - 2}{2}$，
由于分式的分母不能为0，所以$x+2 \neq 0$，即$x \neq -2$，
因而$\frac{a - 2}{2} \neq -2$，
所以$a-2 \neq -4$，即$a \neq -2$，
又因为方程的解是负数，所以$\frac{a - 2}{2} ＜ 0$，
解得$a ＜ 2$，
综合以上两个条件，得到$a$的取值范围是$a ＜ 2$且$a \neq -2$。

15. 若$a+\frac {1}{a}= 5$,则$\frac {a^{2}}{a^{4}+a^{2}+1}= $.

$\frac{1}{24}$

因为$a + \frac{1}{a} = 5$，所以$(a + \frac{1}{a})^2 = 25$，即$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 25$，则$a^2 + \frac{1}{a^2} = 23$。
所求分式的倒数为$\frac{a^4 + a^2 + 1}{a^2} = a^2 + 1 + \frac{1}{a^2} = (a^2 + \frac{1}{a^2}) + 1 = 23 + 1 = 24$，故原分式的值为$\frac{1}{24}$。

16. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ },BC= 2,\angle A= 30^{\circ }$,将$\triangle ABC绕点C顺时针旋转120^{\circ }$,若$P为AB$上一动点,旋转后点$P的对应点为点P'$,则线段$PP'$长度的最小值是.

3

在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$BC=2$，则$AB=2BC=4$（30°角对边是斜边一半），$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
将$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转$120^{\circ}$，$P$的对应点为$P'$，则$CP=CP'$，$\angle PCP'=120^{\circ}$。在$\triangle PCP'$中，由余弦定理得$PP'^2=CP^2+CP'^2-2\cdot CP\cdot CP'\cdot\cos120^{\circ}=2CP^2-2CP^2\cdot(-\frac{1}{2})=3CP^2$，故$PP'=\sqrt{3}CP$，所以$PP'$最小即$CP$最小。
$CP$最小值为点$C$到$AB$的距离（垂线段最短）。$Rt\triangle ABC$面积$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot h$（$h$为斜边上的高），则$h=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{2\sqrt{3}×2}{4}=\sqrt{3}$，即$CP_{min}=\sqrt{3}$。
因此$PP'_{min}=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$。

17. (本题12分)
因式分解.
(1) $2m(a-b)-6n(b-a)$;
(2) $(x^{2}-5)^{2}+8(x^{2}-5)+16$;
(3) $2x^{2}+2x+\frac {1}{2}$.

(1)
$\begin{aligned}&2m(a - b) - 6n(b - a)\\=&2m(a - b)+6n(a - b)\\=&2(a - b)(m + 3n)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(x^{2}-5)^{2}+8(x^{2}-5)+16\\=&(x^{2}-5 + 4)^{2}\\=&(x^{2}-1)^{2}\\=&(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&2x^{2}+2x+\frac{1}{2}\\=&2\left(x^{2}+x+\frac{1}{4}\right)\\=&2\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}\end{aligned}$