1. 下列方程是分式方程的个数是()
① $ x + 3y = \frac{1}{12} $；② $ x + \frac{1}{x} = 5 $；③ $ \frac{2}{3x} = 7 $；④ $ \frac{3}{x - 2} - 1 = \frac{5}{2x + 1} $；⑤ $ \frac{5}{3x - 2} + \frac{1}{x + 3} $；⑥ $ \frac{x - 7}{5} + \frac{x}{3} = \frac{1}{2} $.
A.1
B.2
C.3
D.4

C

分式方程的定义是：分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
① $x + 3y = \frac{1}{12}$，此方程无分母，不是分式方程。
② $x + \frac{1}{x} = 5$，此方程分母含有未知数$x$，是分式方程。
③ $\frac{2}{3x} = 7$，此方程分母含有未知数$x$，是分式方程。
④ $\frac{3}{x - 2} - 1 = \frac{5}{2x + 1}$，此方程分母含有未知数$x$，是分式方程。
⑤ $\frac{5}{3x - 2} + \frac{1}{x + 3}$，此式不是方程，因为无等号，不是分式方程。
⑥ $\frac{x - 7}{5} + \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$，此方程分母不含有未知数，不是分式方程。
综上，②③④是分式方程，共3个。

2. 若分式 $ \frac{|x| - 3}{x + 3} $ 的值为零,则 $ x $ 的值为()
A.3
B.$ -3 $
C.$ \pm 3 $
D.任意实数

A

要使分式 $\frac{|x| - 3}{x + 3}$ 的值为零，需满足分子为零且分母不为零。
1. 分子 $|x| - 3 = 0$，解得 $x = \pm 3$。
2. 分母 $x + 3 \neq 0$，即 $x \neq -3$。
综合得 $x = 3$。

3. 已知 $ \left( \frac{a^3}{b^2} \right) ÷ \left( \frac{a}{b^3} \right)^2 = 3 $,那么 $ a^2b^8 $ 的值是()
A.3
B.9
C.12
D.81

B

根据题意，有$\left( \frac{a^3}{b^2} \right) ÷ \left( \frac{a}{b^3} \right)^2 = 3$，
将除法转化为乘法，即：
$\frac{a^3}{b^2} × \frac{b^6}{a^2} = 3$，
进行乘法运算，得到：
$a^{3-2}b^{6-2} = 3$，
$a \cdot b^4 = 3$，
对等式两边同时平方，得到：
$a^2 \cdot (b^4)^2 = 3^2$，
$a^2 \cdot b^8 = 9$，
所以，$a^2b^8$的值为9。

4. 对于非零实数 $ a $,$ b $,规定：$ a \otimes b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} $. 若 $ 2 \otimes (2x - 1) = 1 $,则 $ x $ 的值为()
A.$ \frac{5}{6} $
B.$ \frac{5}{4} $
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ -\frac{1}{6} $

A

根据题意，由规定运算 $a \otimes b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$，将 $2 \otimes (2x - 1) = 1$ 代入可得：
$\frac{1}{2x - 1} - \frac{1}{2} = 1$，
方程两边同时乘以 $2(2x - 1)$ 得：
$2 - (2x - 1) = 2(2x - 1)$，
去括号得：
$2 - 2x + 1 = 4x - 2$，
移项得：
$-2x - 4x = -2 - 2 + (-1)$（这里注意，原式移项应为$2+1+2 = 4x + 2x$，上面式子移项错误，应写作$2 + 1+2 = 4x + 2x$）
合并同类项得：
$6x = 5$，
系数化为$1$得：
$x = \frac{5}{6}$，
检验：当 $x = \frac{5}{6}$ 时，$2(2x - 1)=2×(\frac{5}{3}-1)=\frac{4}{3}\neq 0$，所以 $x = \frac{5}{6}$ 是原方程的解。

5. 下列各式中计算正确的是()
A.$ (15x^2y - 5xy^2) ÷ 5xy = 3x - 5y $
B.$ 98 × 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 9996 $
C.$ \frac{x}{x + 3} - 1 = \frac{3}{x + 3} $
D.$ (3x + 1)(x - 2) = 3x^2 + x - 2 $

B

A. 对于 $(15x^2y - 5xy^2) ÷ 5xy$，我们可以分别将每一项除以 $5xy$：
$\frac{15x^2y}{5xy} - \frac{5xy^2}{5xy} = 3x - y$，
与选项A给出的 $3x - 5y$ 不符，故A错误。
B. 对于 $98 × 102$，我们可以将其表示为 $(100 - 2)(100 + 2)$，利用平方差公式：
$(100 - 2)(100 + 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$，
与选项B给出的结果相符，故B正确。
C. 对于 $\frac{x}{x + 3} - 1$，我们可以将其转化为：
$\frac{x}{x + 3} - \frac{x + 3}{x + 3} = \frac{x - x - 3}{x + 3} = -\frac{3}{x + 3}$，
与选项C给出的 $\frac{3}{x + 3}$ 不符，故C错误。
D. 对于 $(3x + 1)(x - 2)$，我们可以使用多项式乘法法则展开：
$3x × x + 3x × (-2) + 1 × x + 1 × (-2) = 3x^2 - 6x + x - 2 = 3x^2 - 5x - 2$，
与选项D给出的 $3x^2 + x - 2$ 不符，故D错误。

6. 将分式 $ \frac{x^2y}{x - y} $ 中 $ x $,$ y $ 的值同时扩大为原来的 3 倍,则分式的值()
A.扩大 6 倍
B.扩大 9 倍
C.不变
D.扩大 3 倍

B

原分式为 $ \frac{x^2y}{x - y} $，将 $ x $ 和 $ y $ 同时扩大为原来的 3 倍，即 $ x $ 变为 $ 3x $，$ y $ 变为 $ 3y $。
新分式为：
$ \frac{(3x)^2 \cdot (3y)}{3x - 3y} = \frac{9x^2 \cdot 3y}{3(x - y)} = \frac{27x^2y}{3(x - y)} = 9 \cdot \frac{x^2y}{x - y} $，
分式的值扩大了 9 倍。