19. (8 分)在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 的对边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $,$ \sin A + \sin B = \dfrac{7}{5} $,$ a + b = 28 $,求 $ c $ 的值.

在$Rt \bigtriangleup ABC$中，由正弦的定义，有：
$\sin A = \frac{a}{c}$，
$\sin B = \frac{b}{c}$，
根据题目条件，$\sin A + \sin B = \frac{7}{5}$，代入上述正弦定义，得：
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{7}{5}$，
合并同类项，得：
$\frac{a + b}{c} = \frac{7}{5}$，
根据题目条件，$a + b = 28$，代入上式，得：
$\frac{28}{c} = \frac{7}{5}$，
解这个方程，得到：
$c = 20$。
故$c$的值为20。

20. (6 分)如图,$ AB $ 是斜靠在墙上的长梯,$ AB $ 与地面夹角为 $ \alpha $,当梯顶 $ A $ 下滑 $ 1\ m $ 到点 $ A' $ 时,梯脚 $ B $ 滑到点 $ B' $,$ A'B' $ 与地面的夹角为 $ \beta $. 若 $ \tan \alpha = \dfrac{4}{3} $,$ BB' = 1\ m $,求 $ \cos \beta $ 的值.

设$AB = A^{\prime}B^{\prime} = L$。
在$Rt\triangle ABO$中，$\tan\alpha=\frac{AO}{OB}=\frac{4}{3}$，设$AO = 4x$，$OB = 3x$。
由勾股定理$AB=\sqrt{AO^{2}+OB^{2}} = 5x$，所以$L = 5x$。
$A$下滑$1m$到$A^{\prime}$，则$A^{\prime}O=4x - 1$；$B$滑到$B^{\prime}$，$B^{\prime}O = 3x + 1$。
在$Rt\triangle A^{\prime}B^{\prime}O$中，$A^{\prime}B^{\prime}=L = 5x$，根据勾股定理$(4x - 1)^{2}+(3x + 1)^{2}=(5x)^{2}$。
展开得$16x^{2}-8x + 1+9x^{2}+6x + 1 = 25x^{2}$，
$25x^{2}-2x + 2 = 25x^{2}$，
解得$x = 1$。
所以$A^{\prime}O=4 - 1=3$，$B^{\prime}O=3 + 1 = 4$，$A^{\prime}B^{\prime}=5$。
则$\cos\beta=\frac{B^{\prime}O}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{4}{5}$。
故$\cos\beta$的值为$\frac{4}{5}$。