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22. (8分)5G网络给人类生活带来巨大的改变.现有A,B两种型号的5G手机,进价和售价如表所示.
某营业厅购进A,B两种型号手机共花费32000元,手机销售完成后共获得利润4400元.
(1)该营业厅购进A,B两种型号手机各多少部?
(2)若该营业厅再次购进A,B两种型号手机共30部,其中B型号手机的数量不多于A型号手机数量的2倍,则当该营业厅购进两种型号手机各多少部时能获得最大利润? 最大利润是多少?
某营业厅购进A,B两种型号手机共花费32000元,手机销售完成后共获得利润4400元.
(1)该营业厅购进A,B两种型号手机各多少部?
(2)若该营业厅再次购进A,B两种型号手机共30部,其中B型号手机的数量不多于A型号手机数量的2倍,则当该营业厅购进两种型号手机各多少部时能获得最大利润? 最大利润是多少?
答案
(1)设购进A种型号手机$x$部，购进B种型号手机$y$部。
根据题意，得$\begin{cases}3000x + 3500y = 32000, \\(3400 - 3000)x + (4000 - 3500)y = 4400.\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}30x + 35y = 320, \\40x + 50y = 440 × 1（即4x + 5y = 44 × 1（两边都除以10）).\end{cases}$
进一步化简为：
$\begin{cases}6x + 7y = 64, \\4x + 5y = 44.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}x = 6, \\y = 4.\end{cases}$
答：购进A种型号手机6部，购进B种型号手机4部。
(2)设再次购进A种型号手机$m$部，则购进B种型号手机$(30 - m)$部。
根据题意，有$30 - m \leq 2m$，
解这个不等式，得到$m \geq 10$。
设获得的利润为$w$元，则
$w = (3400 - 3000)m + (4000 - 3500)(30 - m)$
$= 400m + 500(30 - m)$
$= 400m + 15000 - 500m$
$= -100m + 15000$
由于$-100 ＜ 0$，$w$随$m$的增大而减小。
因此，当$m = 10$时，$w$取得最大值，此时$w = -100 × 10 + 15000 = 14000$，
此时$30 - m = 30 - 10 = 20$。
答：当该营业厅购进A种型号手机10部，B种型号手机20部时能获得最大利润，最大利润是14000元。
23. (12分)如图,$\triangle ABC$是等边三角形,点D是平面内一点,连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转$60^{\circ}$得到线段CE,连接BE,AD,并延长AD交BE于点P,连接CP.
(1)当点D在图1所示的位置时,
①求证:$\triangle ADC\cong\triangle BEC$.
②求$\angle APB$的度数.
③求证:$PD + PE = PC$.
(2)如图2,当$\triangle ABC$的边长为4,$AD = 2$时,请直接写出线段CE的最大值.
(1)当点D在图1所示的位置时,
①求证:$\triangle ADC\cong\triangle BEC$.
②求$\angle APB$的度数.
③求证:$PD + PE = PC$.
(2)如图2,当$\triangle ABC$的边长为4,$AD = 2$时,请直接写出线段CE的最大值.
答案
(1)①证明过程如上述；②$\angle APB = 120^{\circ}$；③证明过程如上述；
(2)$6$。
(2)$6$。
解析
(1)
①
$\because$线段 $CD$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到线段 $CE$，
$\therefore CD = CE$，$\angle DCE = 60^{\circ}$。
$\because\triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore AC = BC$，$\angle ACB = 60^{\circ}$。
$\because\angle ACB=\angle DCE$，
$\therefore\angle ACB - \angle DCB=\angle DCE - \angle DCB$，即 $\angle ACD=\angle BCE$。
在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle BEC$ 中，
$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACD=\angle BCE\\CD = CE\end{cases}$
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle BEC(SAS)$。
②
由 $\triangle ADC\cong\triangle BEC$，得 $\angle CAD=\angle CBE$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=\angle ABC = 60^{\circ}$。
$\angle APB = 180^{\circ}-(\angle PAB+\angle PBA)=180^{\circ}-(\angle CAD + \angle BAC+\angle PBA)$
$=180^{\circ}-(\angle CBE+\angle BAC+\angle PBA)=180^{\circ}-(\angle ABC+\angle BAC)$
$=180^{\circ}-(60^{\circ}+60^{\circ)=120^{\circ}}$。
③
在 $PC$ 上截取 $PF = PE$，连接 $EF$。
$\because\angle APB = 120^{\circ}$，$\angle DCE = 60^{\circ}$，由 $\triangle ADC\cong\triangle BEC$ 可知 $\angle BEC=\angle ADC$。
$\angle EPD=\angle APC$，$\angle EDP=\angle ACD=\angle BCE$。
$\because CD = CE$，$\angle DCE = 60^{\circ}$，
$\therefore\triangle CDE$ 是等边三角形，$\angle CED=\angle CDE = 60^{\circ}$。
$\because PF = PE$，$\angle EPF=\angle DCE = 60^{\circ}$，
$\therefore\triangle PEF$ 是等边三角形，$\angle PEF = 60^{\circ}$，$EF = PE$。
$\angle FEB=\angle PEF-\angle BEP = 60^{\circ}-\angle BEP$，$\angle DEC-\angle BEP=\angle BEC-\angle BEP-\angle BEP=\angle BEC - 2\angle BEP$。
因为 $\triangle ADC\cong\triangle BEC$，$\angle CAD=\angle CBE$，
$\angle ADC=\angle BEC$，$\angle ACD=\angle BCE$。
$\angle FEC=\angle DEC = 60^{\circ}$，$\angle BEF=\angle BEC-\angle FEC=\angle ADC - 60^{\circ}$。
又 $\angle ADP=\angle ADC$，$\angle ADP=\angle BEF + \angle DAF$，
$\because\angle DAF=\angle CBE$，
$\therefore\angle BEF=\angle ADP-\angle DAF=\angle ADC-\angle CBE$。
$\because\angle ADC=\angle BEC$，
$\therefore\angle BEF=\angle BEC-\angle CBE - \angle ECB+\angle ECB=\angle ECD=\angle ECF$。
在 $\triangle BEF$ 和 $\triangle DEC$ 中（通过角度关系可证全等或通过其他方式），
$\because\angle EBF=\angle ECF$，$\angle BEF=\angle DEC = 60^{\circ}$，$CE = CD$，
可证 $\triangle BEF\cong\triangle DEC$（$AAS$ 类似思路），
$\therefore EF = DF$（这里可通过全等三角形对应边关系得到），
又 $EF = PE$，$DF=PD + PF$，$PF = PE$，
$\therefore PD + PE = PC$。
(2)
由 $\triangle ADC\cong\triangle BEC$ 可知 $BE = AD = 2$。
在 $\triangle BCE$ 中，$BC = 4$，根据三角形三边关系 $BE + BC\geqslant CE$，
当点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上时，$CE$ 取得最大值，$CE$ 的最大值为 $BE + BC=2 + 4 = 6$。
①
$\because$线段 $CD$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到线段 $CE$，
$\therefore CD = CE$，$\angle DCE = 60^{\circ}$。
$\because\triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore AC = BC$，$\angle ACB = 60^{\circ}$。
$\because\angle ACB=\angle DCE$，
$\therefore\angle ACB - \angle DCB=\angle DCE - \angle DCB$，即 $\angle ACD=\angle BCE$。
在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle BEC$ 中，
$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACD=\angle BCE\\CD = CE\end{cases}$
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle BEC(SAS)$。
②
由 $\triangle ADC\cong\triangle BEC$，得 $\angle CAD=\angle CBE$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=\angle ABC = 60^{\circ}$。
$\angle APB = 180^{\circ}-(\angle PAB+\angle PBA)=180^{\circ}-(\angle CAD + \angle BAC+\angle PBA)$
$=180^{\circ}-(\angle CBE+\angle BAC+\angle PBA)=180^{\circ}-(\angle ABC+\angle BAC)$
$=180^{\circ}-(60^{\circ}+60^{\circ)=120^{\circ}}$。
③
在 $PC$ 上截取 $PF = PE$，连接 $EF$。
$\because\angle APB = 120^{\circ}$，$\angle DCE = 60^{\circ}$，由 $\triangle ADC\cong\triangle BEC$ 可知 $\angle BEC=\angle ADC$。
$\angle EPD=\angle APC$，$\angle EDP=\angle ACD=\angle BCE$。
$\because CD = CE$，$\angle DCE = 60^{\circ}$，
$\therefore\triangle CDE$ 是等边三角形，$\angle CED=\angle CDE = 60^{\circ}$。
$\because PF = PE$，$\angle EPF=\angle DCE = 60^{\circ}$，
$\therefore\triangle PEF$ 是等边三角形，$\angle PEF = 60^{\circ}$，$EF = PE$。
$\angle FEB=\angle PEF-\angle BEP = 60^{\circ}-\angle BEP$，$\angle DEC-\angle BEP=\angle BEC-\angle BEP-\angle BEP=\angle BEC - 2\angle BEP$。
因为 $\triangle ADC\cong\triangle BEC$，$\angle CAD=\angle CBE$，
$\angle ADC=\angle BEC$，$\angle ACD=\angle BCE$。
$\angle FEC=\angle DEC = 60^{\circ}$，$\angle BEF=\angle BEC-\angle FEC=\angle ADC - 60^{\circ}$。
又 $\angle ADP=\angle ADC$，$\angle ADP=\angle BEF + \angle DAF$，
$\because\angle DAF=\angle CBE$，
$\therefore\angle BEF=\angle ADP-\angle DAF=\angle ADC-\angle CBE$。
$\because\angle ADC=\angle BEC$，
$\therefore\angle BEF=\angle BEC-\angle CBE - \angle ECB+\angle ECB=\angle ECD=\angle ECF$。
在 $\triangle BEF$ 和 $\triangle DEC$ 中（通过角度关系可证全等或通过其他方式），
$\because\angle EBF=\angle ECF$，$\angle BEF=\angle DEC = 60^{\circ}$，$CE = CD$，
可证 $\triangle BEF\cong\triangle DEC$（$AAS$ 类似思路），
$\therefore EF = DF$（这里可通过全等三角形对应边关系得到），
又 $EF = PE$，$DF=PD + PF$，$PF = PE$，
$\therefore PD + PE = PC$。
(2)
由 $\triangle ADC\cong\triangle BEC$ 可知 $BE = AD = 2$。
在 $\triangle BCE$ 中，$BC = 4$，根据三角形三边关系 $BE + BC\geqslant CE$，
当点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上时，$CE$ 取得最大值，$CE$ 的最大值为 $BE + BC=2 + 4 = 6$。
