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1. 张老师出门散步时离家的距离$y$与时间$x$之间的函数图象如图所示. 若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是(
A.
D
).A.
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确函数图象的横纵坐标含义：横坐标x代表散步时间，纵坐标y代表离家的距离。我们可以分三个阶段分析图象的变化规律，再对应匹配行走路线：第一阶段y随x增大而增大，对应从家出发逐渐远离的过程；第二阶段y保持恒定，说明这段时间行走时离家距离始终相等，也就是走在以家为圆心的圆弧上；第三阶段y随x增大逐渐减小到0，对应走回家的过程。接下来逐一比对选项，排除不符合阶段特征的选项即可得到答案。
【解析】
首先明确函数图象意义：x为时间，y为离家的距离，分三个阶段分析：
1. 第一阶段：y随x增大而增大，说明张老师从家出发，离家距离逐渐变大；
2. 第二阶段：y值不变，说明这段时间张老师离家的距离始终相等，即行走路线在以家为圆心的圆弧上；
3. 第三阶段：y随x增大减小到0，说明张老师逐渐返回，最终到家。
逐一分析选项：
A选项：路线为折线，中间段行走时离家距离会变化，不符合第二阶段特征，排除；
B选项：路线为三角形，不存在离家距离不变的阶段，排除；
C选项：中间段走的是圆周上两点的连线（弦），行走时离家距离先减小后增大，y值会变化，不符合，排除；
D选项：先从家走到圆周上（距离增大），再沿圆弧行走（距离始终等于半径，保持不变），最后返回家中（距离减小到0），完全符合图象特征。
【答案】
D
【知识点】
函数图象识别，圆的特征，距离的概念
【点评】
本题结合生活散步的实际场景考查函数图象的识别，核心是理解横纵坐标的实际含义，将抽象的函数变化规律和实际的行走路线特征对应起来，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确函数图象的横纵坐标含义：横坐标x代表散步时间，纵坐标y代表离家的距离。我们可以分三个阶段分析图象的变化规律，再对应匹配行走路线：第一阶段y随x增大而增大，对应从家出发逐渐远离的过程；第二阶段y保持恒定，说明这段时间行走时离家距离始终相等，也就是走在以家为圆心的圆弧上；第三阶段y随x增大逐渐减小到0，对应走回家的过程。接下来逐一比对选项，排除不符合阶段特征的选项即可得到答案。
【解析】
首先明确函数图象意义：x为时间，y为离家的距离，分三个阶段分析：
1. 第一阶段：y随x增大而增大，说明张老师从家出发，离家距离逐渐变大；
2. 第二阶段：y值不变，说明这段时间张老师离家的距离始终相等，即行走路线在以家为圆心的圆弧上；
3. 第三阶段：y随x增大减小到0，说明张老师逐渐返回，最终到家。
逐一分析选项：
A选项：路线为折线，中间段行走时离家距离会变化，不符合第二阶段特征，排除；
B选项：路线为三角形，不存在离家距离不变的阶段，排除；
C选项：中间段走的是圆周上两点的连线（弦），行走时离家距离先减小后增大，y值会变化，不符合，排除；
D选项：先从家走到圆周上（距离增大），再沿圆弧行走（距离始终等于半径，保持不变），最后返回家中（距离减小到0），完全符合图象特征。
【答案】
D
【知识点】
函数图象识别，圆的特征，距离的概念
【点评】
本题结合生活散步的实际场景考查函数图象的识别，核心是理解横纵坐标的实际含义，将抽象的函数变化规律和实际的行走路线特征对应起来，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）. 问户高、广各几何？”意思为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈. 求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为$ x $尺，可列出方程：$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
2. $(x+6.8)^2+x^2=10^2$
解析
【分析】
解题首先要统一单位，再结合题意用含x的式子表示出门的高，再根据矩形的宽、高与对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程。第一步先换算单位：6尺8寸换算为6.8尺，1丈换算为10尺；第二步，已知宽为x尺，高比宽多6.8尺，所以高为(x+6.8)尺；第三步，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边为对角线长10尺，代入即可得到方程。
【解析】
首先进行单位换算：
因为1尺=10寸，所以6尺8寸=6.8尺；又因为1丈=10尺，所以对角线长为10尺。
设户广（门的宽）为$x$尺，则门的高为$(x+6.8)$尺。
门为矩形，其宽、高与对角线恰好构成直角三角形，宽和高为两条直角边，对角线为斜边，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入数据得：
$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
【答案】
$(x+6.8)^2+x^2=10^2$
【知识点】
勾股定理，单位换算，列方程
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是正确梳理数量关系，统一单位后用未知数表示出直角三角形的各边长度，再结合勾股定理列等式，侧重基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
解题首先要统一单位，再结合题意用含x的式子表示出门的高，再根据矩形的宽、高与对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程。第一步先换算单位：6尺8寸换算为6.8尺，1丈换算为10尺；第二步，已知宽为x尺，高比宽多6.8尺，所以高为(x+6.8)尺；第三步，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边为对角线长10尺，代入即可得到方程。
【解析】
首先进行单位换算：
因为1尺=10寸，所以6尺8寸=6.8尺；又因为1丈=10尺，所以对角线长为10尺。
设户广（门的宽）为$x$尺，则门的高为$(x+6.8)$尺。
门为矩形，其宽、高与对角线恰好构成直角三角形，宽和高为两条直角边，对角线为斜边，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入数据得：
$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
【答案】
$(x+6.8)^2+x^2=10^2$
【知识点】
勾股定理，单位换算，列方程
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是正确梳理数量关系，统一单位后用未知数表示出直角三角形的各边长度，再结合勾股定理列等式，侧重基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
3. 如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC,BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动。设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD的长为
4
。答案
3. 4
解析
【分析】
解题时先将动点的运动阶段和函数图象对应起来：1. 动点P在AB段运动时，△AOP的高为点O到AB的距离（固定为AD的一半，因为O是矩形对角线交点），底AP随运动路程x增大而增大，因此y随x增大而上升，对应图②的上升段，上升段的终点对应P到达点B的时刻，此时x的值就是AB的长度；2. P在B点时，△AOP就是△AOB，结合图象可得到△AOB的面积，再利用三角形面积公式就能求出AD的长。
【解析】
解：由函数图象的上升段终点可知，当点P运动到点B时，运动路程x=3，即AB=3，此时△AOP的面积y=3，也就是$S_{△ AOB}=3$。
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O
∴点O是AC的中点，点O到AB边的距离等于AD的$\frac{1}{2}$
根据三角形面积公式：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × \frac{AD}{2} = \frac{AB · AD}{4}$
将AB=3，$S_{△ AOB}=3$代入得：
$\frac{3 × AD}{4}=3$
解得$AD=4$
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质，动点问题的函数图象，三角形面积计算
【点评】
本题将动点问题与函数图象结合，核心是找到函数图象拐点对应的动点特殊位置，再结合矩形的性质和面积公式求解，重点考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时先将动点的运动阶段和函数图象对应起来：1. 动点P在AB段运动时，△AOP的高为点O到AB的距离（固定为AD的一半，因为O是矩形对角线交点），底AP随运动路程x增大而增大，因此y随x增大而上升，对应图②的上升段，上升段的终点对应P到达点B的时刻，此时x的值就是AB的长度；2. P在B点时，△AOP就是△AOB，结合图象可得到△AOB的面积，再利用三角形面积公式就能求出AD的长。
【解析】
解：由函数图象的上升段终点可知，当点P运动到点B时，运动路程x=3，即AB=3，此时△AOP的面积y=3，也就是$S_{△ AOB}=3$。
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O
∴点O是AC的中点，点O到AB边的距离等于AD的$\frac{1}{2}$
根据三角形面积公式：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × \frac{AD}{2} = \frac{AB · AD}{4}$
将AB=3，$S_{△ AOB}=3$代入得：
$\frac{3 × AD}{4}=3$
解得$AD=4$
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质，动点问题的函数图象，三角形面积计算
【点评】
本题将动点问题与函数图象结合，核心是找到函数图象拐点对应的动点特殊位置，再结合矩形的性质和面积公式求解，重点考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=-\dfrac{3}{4}x+6$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,过坐标原点$O$作直线的垂线交$AB$于点$C$,$∠ OCA$的角平分线$CD$交$x$轴于点$D$.
(1) 线段$OC$的长为$\underline{\hspace{3em}}$.
(2) 若一动点$P$在射线$CD$上运动,连接$AP$,当$△ ACP$为直角三角形时,点$P$的坐标为$\underline{\hspace{8em}}$.
(1) 线段$OC$的长为$\underline{\hspace{3em}}$.
(2) 若一动点$P$在射线$CD$上运动,连接$AP$,当$△ ACP$为直角三角形时,点$P$的坐标为$\underline{\hspace{8em}}$.
答案
4. (1) $\dfrac{24}{5}$
(2) $(\dfrac{88}{25},-\dfrac{16}{25})$或$(\dfrac{104}{25},-\dfrac{128}{25})$
(2) $(\dfrac{88}{25},-\dfrac{16}{25})$或$(\dfrac{104}{25},-\dfrac{128}{25})$
解析
【分析】
(1) 先求直线AB与坐标轴的交点A、B坐标，用勾股定理计算AB的长度，再利用△AOB面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），即可求出OC的长度。
(2) 首先根据垂直关系求出直线OC的解析式，联立AB的解析式得到C点坐标；再根据角平分线的性质求出D点坐标，得到射线CD的解析式；最后分△ACP的直角顶点为A、P两种情况（直角顶点为C时仅交点C，不能构成三角形，舍去），分别联立对应直线解析式求出P点坐标即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\dfrac{3}{4}x+6$：
令$y=0$，得$0=-\dfrac{3}{4}x+6$，解得$x=8$，故$A(8,0)$，$OA=8$；
令$x=0$，得$y=6$，故$B(0,6)$，$OB=6$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
$\because S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}AB· OC$
$\therefore OC=\dfrac{OA· OB}{AB}=\dfrac{8×6}{10}=\dfrac{24}{5}$。
(2) ①求C点坐标：
$\because OC⊥ AB$，直线$AB$的斜率为$-\dfrac{3}{4}$，$\therefore$直线$OC$的斜率为$\dfrac{4}{3}$，解析式为$y=\dfrac{4}{3}x$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{4}{3}x\\y=-\dfrac{3}{4}x+6\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\dfrac{72}{25}\\\\y=\dfrac{96}{25}\end{cases}$，即$C(\dfrac{72}{25},\dfrac{96}{25})$。
②求射线CD的解析式：
$CD$平分$∠ OCA$，$∠ OCA=90°$，设$D(d,0)$，根据角平分线上的点到角两边距离相等：
$D$到$OC$（$4x-3y=0$）的距离等于$D$到$AB$（$3x+4y-24=0$）的距离，即$\dfrac{|4d|}{5}=\dfrac{|3d-24|}{5}$。
$\because D$在线段$OA$上，$d＞0$且$3d-24＜0$，$\therefore 4d=24-3d$，解得$d=\dfrac{24}{7}$，即$D(\dfrac{24}{7},0)$。
设$CD$解析式为$y=kx+b$，代入$C$、$D$坐标解得$k=-7$，$b=24$，即$CD:y=-7x+24$。
③分情况求P点坐标：
情况1：直角顶点为$A$，此时$AP⊥ AC$。
直线$AC$斜率为$-\dfrac{3}{4}$，故$AP$斜率为$\dfrac{4}{3}$，$AP$解析式为$y=\dfrac{4}{3}(x-8)$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{4}{3}(x-8)\\y=-7x+24\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\dfrac{104}{25}\\\\y=-\dfrac{128}{25}\end{cases}$，即$P(\dfrac{104}{25},-\dfrac{128}{25})$。
情况2：直角顶点为$P$，此时$PA⊥ PC$，设$P(x,-7x+24)$，由勾股定理$PC^2+PA^2=AC^2$，代入计算解得$\begin{cases}x=\dfrac{88}{25}\\\\y=-\dfrac{16}{25}\end{cases}$，即$P(\dfrac{88}{25},-\dfrac{16}{25})$。
（直角顶点为$C$时仅交点$C$，无法构成三角形，舍去）
【答案】
(1) $\dfrac{24}{5}$
(2) $(\dfrac{88}{25},-\dfrac{16}{25})$或$(\dfrac{104}{25},-\dfrac{128}{25})$
【知识点】
一次函数的性质；角平分线的性质；直角三角形的判定
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题的关键是熟练掌握一次函数解析式的求法，灵活运用角平分线性质和直角三角形的性质分类讨论，计算时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.3
(1) 先求直线AB与坐标轴的交点A、B坐标，用勾股定理计算AB的长度，再利用△AOB面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），即可求出OC的长度。
(2) 首先根据垂直关系求出直线OC的解析式，联立AB的解析式得到C点坐标；再根据角平分线的性质求出D点坐标，得到射线CD的解析式；最后分△ACP的直角顶点为A、P两种情况（直角顶点为C时仅交点C，不能构成三角形，舍去），分别联立对应直线解析式求出P点坐标即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\dfrac{3}{4}x+6$：
令$y=0$，得$0=-\dfrac{3}{4}x+6$，解得$x=8$，故$A(8,0)$，$OA=8$；
令$x=0$，得$y=6$，故$B(0,6)$，$OB=6$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
$\because S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}AB· OC$
$\therefore OC=\dfrac{OA· OB}{AB}=\dfrac{8×6}{10}=\dfrac{24}{5}$。
(2) ①求C点坐标：
$\because OC⊥ AB$，直线$AB$的斜率为$-\dfrac{3}{4}$，$\therefore$直线$OC$的斜率为$\dfrac{4}{3}$，解析式为$y=\dfrac{4}{3}x$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{4}{3}x\\y=-\dfrac{3}{4}x+6\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\dfrac{72}{25}\\\\y=\dfrac{96}{25}\end{cases}$，即$C(\dfrac{72}{25},\dfrac{96}{25})$。
②求射线CD的解析式：
$CD$平分$∠ OCA$，$∠ OCA=90°$，设$D(d,0)$，根据角平分线上的点到角两边距离相等：
$D$到$OC$（$4x-3y=0$）的距离等于$D$到$AB$（$3x+4y-24=0$）的距离，即$\dfrac{|4d|}{5}=\dfrac{|3d-24|}{5}$。
$\because D$在线段$OA$上，$d＞0$且$3d-24＜0$，$\therefore 4d=24-3d$，解得$d=\dfrac{24}{7}$，即$D(\dfrac{24}{7},0)$。
设$CD$解析式为$y=kx+b$，代入$C$、$D$坐标解得$k=-7$，$b=24$，即$CD:y=-7x+24$。
③分情况求P点坐标：
情况1：直角顶点为$A$，此时$AP⊥ AC$。
直线$AC$斜率为$-\dfrac{3}{4}$，故$AP$斜率为$\dfrac{4}{3}$，$AP$解析式为$y=\dfrac{4}{3}(x-8)$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{4}{3}(x-8)\\y=-7x+24\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\dfrac{104}{25}\\\\y=-\dfrac{128}{25}\end{cases}$，即$P(\dfrac{104}{25},-\dfrac{128}{25})$。
情况2：直角顶点为$P$，此时$PA⊥ PC$，设$P(x,-7x+24)$，由勾股定理$PC^2+PA^2=AC^2$，代入计算解得$\begin{cases}x=\dfrac{88}{25}\\\\y=-\dfrac{16}{25}\end{cases}$，即$P(\dfrac{88}{25},-\dfrac{16}{25})$。
（直角顶点为$C$时仅交点$C$，无法构成三角形，舍去）
【答案】
(1) $\dfrac{24}{5}$
(2) $(\dfrac{88}{25},-\dfrac{16}{25})$或$(\dfrac{104}{25},-\dfrac{128}{25})$
【知识点】
一次函数的性质；角平分线的性质；直角三角形的判定
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题的关键是熟练掌握一次函数解析式的求法，灵活运用角平分线性质和直角三角形的性质分类讨论，计算时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.3
