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10. (2026 盐城市大丰区期末)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1$的函数表达式为$y=$$x$,直线$l_2$与$l_1$交于点$A(a,a)$,与$y$轴交于点$B(0,b)$,与$x$轴交于点$C$.已知$(a-$$2)^2+\sqrt{b-6}=0$.
(1)求直线$l_2$的函数表达式.
(2)若平面直角坐标系内有一点$P(m,8)$,使得$S_{△ AOP}=S_{△ AOB}$,求出点$P$的坐标.
(3)线段$OA$上是否存在一个点$M$,使得$∠ ABO+∠ MBO=45°$?若存在,求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线$l_2$的函数表达式.
(2)若平面直角坐标系内有一点$P(m,8)$,使得$S_{△ AOP}=S_{△ AOB}$,求出点$P$的坐标.
(3)线段$OA$上是否存在一个点$M$,使得$∠ ABO+∠ MBO=45°$?若存在,求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
10. 解:(1) 设直线$l_2$的函数表达式$y=kx+b$.因为$(a-2)^2+\sqrt{b-6}=0$,所以$a-2=0$,$b-6=0$.解得$a=2$,$b=6$.所以点$A(2,2)$,$B(0,6)$.所以$\begin{cases} 2k+b=2,\\ b=6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-2,\\ b=6. \end{cases}$ 所以直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+6$.
(2) 过点B作直线$l_1$的平行线为$y=x+6$.因为$S_{△AOP}=S_{△AOB}$,所以点P在直线$y=x+6$.因为点$P(m,8)$,所以$8=m+6$,解得$m=2$.所以点$P(2,8)$.易得直线$y=x+6$关于直线$l_1$的对称直线为$y=x-6$.因为$S_{△AOP}=S_{△AOB}$,所以点P也可能在直线$y=x-6$上.因为点$P(m,8)$,所以$8=m-6$,解得$m=14$.所以点$P(14,8)$.综上所述,点P的坐标为$(2,8)$或$(14,8)$.
(3) 如图,在x轴上取点H,连接BH,使$∠CBH=45°$.过点H作$HG⊥BH$交直线BG于点G,过点B作$BE//x$轴,过点G作$GF//x$轴,过点H作$EF⊥x$轴.因为$∠BHG=90°$,所以$BH=HG$,$∠BHE+∠FHG=90°$.因为$∠BHE+∠EBH=90°$,所以$∠FHG=∠EBH$.在$△BHE$和$△HGF$中,$\begin{cases} ∠EBH=∠FHG,\\ ∠BEH=∠HFG,\\ BH=HG, \end{cases}$ 所以$△BHE≌△HGF$(AAS).所以$BE=HF$,$EH=FG$.设点$H(n,0)$,所以$HF=-n$,$FG=6$.所以点$G(6+n,n)$,所以$-2(6+n)+6=n$.解得$n=-2$.所以点$H(-2,0)$.因为$∠ABO+∠MBO=45°$,$∠HBO+∠CBO=45°$,所以$∠HBO=∠MBO$.所以BM与x轴的交点为$N(2,0)$.设直线BN的函数表达式为$y=mx+c$.将点$B(0,6)$,$N(2,0)$代入,得$\begin{cases} 2m+c=0,\\ c=6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-3,\\ c=6. \end{cases}$ 所以$y=-3x+6$.当$-3x+6=x$时,解得$x=\frac{3}{2}$.所以点$M(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$.
11. 如图 1,对于平面直角坐标系 $xOy$ 中的点$A$ 和点$P$,若将点$P$ 绕点$A$ 顺时针旋转 $90°$后得到点$Q$,则称$Q$为点$P$关于点$A$的“顺转点”.
(1) 已知点$A$ 的坐标为$(0,0)$,点$P$ 关于点$A$ 的“顺转点”为$Q$.
①若点$P$ 的坐标为$(1,0)$,则点$Q$ 的坐标为
②当点$P$ 的坐标为
③$△ PAQ$ 是
(2) 如图 2,已知直线 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 与 $x$ 轴交于点$A$,点$B$ 的坐标为$(1,0)$,点$C$ 在直线 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 上. 若点$C$ 关于点$B$的“顺转点”$D$ 在$y$ 轴上,求点$D$ 的坐标.
(3) 如图 3,已知点$A$ 的坐标为$(1,1)$,点$B$的坐标为$(2,0)$,平面直角坐标系内一点$D$ 关于点$A$ 的“顺转点”$C$ 在$x$ 轴上. 当$△ ABD$ 为等腰三角形时,请直接写出点$C$ 的坐标.
(1) 已知点$A$ 的坐标为$(0,0)$,点$P$ 关于点$A$ 的“顺转点”为$Q$.
①若点$P$ 的坐标为$(1,0)$,则点$Q$ 的坐标为
(0,-1)
;②当点$P$ 的坐标为
(1,2)
时,点$Q$的坐标为$(2,-1)$;③$△ PAQ$ 是
等腰直角
三角形.(2) 如图 2,已知直线 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 与 $x$ 轴交于点$A$,点$B$ 的坐标为$(1,0)$,点$C$ 在直线 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 上. 若点$C$ 关于点$B$的“顺转点”$D$ 在$y$ 轴上,求点$D$ 的坐标.
(3) 如图 3,已知点$A$ 的坐标为$(1,1)$,点$B$的坐标为$(2,0)$,平面直角坐标系内一点$D$ 关于点$A$ 的“顺转点”$C$ 在$x$ 轴上. 当$△ ABD$ 为等腰三角形时,请直接写出点$C$ 的坐标.
答案
11. 解:(1) ①$(0,-1)$ ②$(1,2)$ ③等腰直角
(2) 如图1,由题意可知,点D位于y轴正半轴上.过点B作$HG⊥x$轴,过点D作$DG⊥y$轴,交GH于点G,过点C作$CH⊥y$轴,交GH于点H.则$∠G=∠H=∠DBC=90°$.因为$∠DBG+∠CBH=90°$,$∠DBG + ∠BDG = 90°$,所以$∠CBH=∠BDG$.又因为$BD=CB$,所以$△BDG≌△CBH$(AAS),所以$DG=BH$,$BG=CH$.因为点$B(1,0)$,所以$OB=DG=BH=1$,所以点C的纵坐标为-1.将$y=-1$代入$y=\frac{1}{2}x+1$,解得$x=-4$.所以点$C(-4,-1)$,所以$GB=CH=5$,所以点$D(0,5)$.
(3) 点C的坐标为$(-\sqrt{2},0)$或$(1,0)$或$(\sqrt{2},0)$或$(2,0)$.
提示:连接OA,AB.由条件,得$OA=AB=\sqrt{2}$,$OB=2$,$△AOB$为等腰直角三角形,所以$∠AOB=∠ABO=45°$.分情况讨论:①如图2,当点C在x轴负半轴上时,易知点D位于第四象限.连接BD.因为$∠CAD=∠OAB=90°$,所以$∠CAD-∠OAD=∠OAB-∠OAD$,即$∠OAC=∠BAD$.又因为$OA=AB$,$AC=AD$,所以$△OAC≌△BAD$,所以$∠AOC=∠ABD$,$OC=BD$.因为$∠AOB=45°$,所以$∠ABD=∠AOC=180°-∠AOB=135°$.当$△ABD$为等腰三角形时,$AB=BD=\sqrt{2}$,所以$OC=\sqrt{2}$,所以点$C(-\sqrt{2},0)$.②如图3,当点C在x轴正半轴上时,易知点D位于第一象限.同理可证$△OAC≌△BAD$.当$△ABD$为等腰三角形,即$△OAC$为等腰三角形时,分三种情况:当$OC=AC$时,易得点$C_1(1,0)$;当$OC=OA=\sqrt{2}$时,易得点$C_2(\sqrt{2},0)$;当$OA=AC$时,点C与点B重合,所以点$C_3(2,0)$.综上所述,点C的坐标为$(-\sqrt{2},0)$或$(1,0)$或$(\sqrt{2},0)$或$(2,0)$.
