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1. 如图，若$∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$，则图中所有平行的直线是（$\quad\quad$）
A.$AB// CD// EF$
B.$CD// EF$
C.$AB// EF$
D.$AB// CD// EF,BC// DE$
A.$AB// CD// EF$
B.$CD// EF$
C.$AB// EF$
D.$AB// CD// EF,BC// DE$
答案
D
解析
根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”：
1. 由∠1=∠2，可得AB//CD；
2. 由∠2=∠3，可得BC//DE；
3. 由∠3=∠4，可得CD//EF；
再根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可推出AB//EF，因此AB//CD//EF，且BC//DE。
1. 由∠1=∠2，可得AB//CD；
2. 由∠2=∠3，可得BC//DE；
3. 由∠3=∠4，可得CD//EF；
再根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可推出AB//EF，因此AB//CD//EF，且BC//DE。
2.将两张长方形纸片按图示位置摆放,使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上,则∠1与∠2的关系是()
A.∠1=∠2
B.∠1+∠2=45°
C.∠1+∠2=90°
D.∠1+∠2=180°
A.∠1=∠2
B.∠1+∠2=45°
C.∠1+∠2=90°
D.∠1+∠2=180°
答案
C
解析
过点A作AQ平行于上方长方形的水平边MF，由长方形对边平行可得MF//HE，因此AQ//MF//HE。根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠MAQ，∠2=∠BAQ。又因为斜放的长方形的内角∠MAB=90°，即∠MAQ+∠BAQ=90°，因此∠1+∠2=90°。
3.两千多年前,我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤.如图,这是一杆秤在称物时的状态,若$∠ 1=102°$,则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_$.
答案
78°
解析
由图可知，提绳和悬挂秤砣的细绳均为竖直方向，两条直线互相平行，木杆秤的杆是两条平行线的截线，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得∠1 + ∠2 = 180°。已知∠1=102°，代入计算得∠2=180°-102°=78°。
4.如图，$AB// CD$.若$∠ B=40°,∠ D=10°$,则$∠ B+∠ D+∠ E+∠ F=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$280°$
解析
我们使用七年级平行线的性质，通过过拐点作辅助平行线的方法求解：
1. 过点E作$EG// AB$，过点F作$FH// AB$，
已知$AB// CD$，根据平行公理的推论，可得$AB// EG// FH// CD$。
2. 根据平行线内错角相等的性质：
由$AB// EG$，得$∠ B = ∠ BEG = 40°$；
由$FH// CD$，得$∠ D = ∠ HFD = 10°$。
3. 根据平行线同旁内角互补的性质：
由$EG// FH$，得$∠ GEF + ∠ EFH = 180°$。
4. 拆分角计算所求总和：
$∠ B + ∠ BEF + ∠ EFD + ∠ D$
$= ∠ B + (∠ BEG + ∠ GEF) + (∠ EFH + ∠ HFD) + ∠ D$
$= 40° + 40° + (∠ GEF + ∠ EFH) + 10° + 10°$
$= 80° + 180° + 20°$
$= 280°$
1. 过点E作$EG// AB$，过点F作$FH// AB$，
已知$AB// CD$，根据平行公理的推论，可得$AB// EG// FH// CD$。
2. 根据平行线内错角相等的性质：
由$AB// EG$，得$∠ B = ∠ BEG = 40°$；
由$FH// CD$，得$∠ D = ∠ HFD = 10°$。
3. 根据平行线同旁内角互补的性质：
由$EG// FH$，得$∠ GEF + ∠ EFH = 180°$。
4. 拆分角计算所求总和：
$∠ B + ∠ BEF + ∠ EFD + ∠ D$
$= ∠ B + (∠ BEG + ∠ GEF) + (∠ EFH + ∠ HFD) + ∠ D$
$= 40° + 40° + (∠ GEF + ∠ EFH) + 10° + 10°$
$= 80° + 180° + 20°$
$= 280°$
5.如图，$AB// CD$，射线$CE$平分$∠ BCD$，$F$为$CE$反向延长线上一点，连接$BF$，且$∠ CBF=\frac{1}{3}∠ ABC$。若$∠ BFC=α$，$∠ ABF=β$，则$α$与$β$满足的关系式为________。
答案
$4α +5β=360°$
解析
我们可以通过平行线性质、角平分线定义和三角形外角性质推导关系式：
1. 由题意，BF在∠ABC内部，因此∠ABC = ∠ABF + ∠CBF。
已知∠CBF = $\frac{1}{3}$∠ABC，∠ABF=β，代入得：
$∠ ABC = β + \frac{1}{3}∠ ABC$，整理得 $∠ ABC=\frac{3}{2}β$，$∠ CBF=\frac{1}{2}β$。
2. 因为$AB// CD$，根据平行线同旁内角互补，得：
$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，因此$∠ BCD=180°-\frac{3}{2}β$。
3. 因为CE平分∠BCD，根据角平分线定义：
$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ BCD = 90°-\frac{3}{4}β$。
4. 由F、C、E三点共线，∠ECD是△FBC的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两个内角和，得：
$∠ ECD = ∠ BFC + ∠ CBF$，代入已知$∠ BFC=α$和上述角的表达式：
$90°-\frac{3}{4}β = α + \frac{1}{2}β$
整理等式得：$4α +5β=360°$。
1. 由题意，BF在∠ABC内部，因此∠ABC = ∠ABF + ∠CBF。
已知∠CBF = $\frac{1}{3}$∠ABC，∠ABF=β，代入得：
$∠ ABC = β + \frac{1}{3}∠ ABC$，整理得 $∠ ABC=\frac{3}{2}β$，$∠ CBF=\frac{1}{2}β$。
2. 因为$AB// CD$，根据平行线同旁内角互补，得：
$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，因此$∠ BCD=180°-\frac{3}{2}β$。
3. 因为CE平分∠BCD，根据角平分线定义：
$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ BCD = 90°-\frac{3}{4}β$。
4. 由F、C、E三点共线，∠ECD是△FBC的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两个内角和，得：
$∠ ECD = ∠ BFC + ∠ CBF$，代入已知$∠ BFC=α$和上述角的表达式：
$90°-\frac{3}{4}β = α + \frac{1}{2}β$
整理等式得：$4α +5β=360°$。
6.如图,点 B,C 在线段 AD 的异侧,E,F 分别是线段 AB,CD 上的点,已知$∠1=∠2,∠3=∠C$.
(1)求证$AB// CD$;
(2)若$∠2+∠4=180^{\circ }$,且$∠BFC-30^{\circ }=2∠1$,求$∠B$.
(1)求证$AB// CD$;
(2)若$∠2+∠4=180^{\circ }$,且$∠BFC-30^{\circ }=2∠1$,求$∠B$.
答案
(1) 证明如上；(2) ∠B = 50°
解析
(1) 证明：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ CE // BF（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠3 = ∠BFD（两直线平行，同位角相等），
又∵ ∠3 = ∠C，
∴ ∠BFD = ∠C，
∴ AB // CD（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ 直线AD与CE交于点G，
∴ ∠2 = ∠3（对顶角相等），
∵ ∠2 + ∠4 = 180°，
∴ ∠3 + ∠4 = 180°，
∴ CE // BF（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠C + ∠BFC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ ∠3 = ∠C，∠1 = ∠2，∠2 = ∠3，
∴ ∠C = ∠1，
由题设∠BFC - 30° = 2∠1，得∠BFC = 2∠1 + 30°，
代入∠C + ∠BFC = 180°：
∠1 + 2∠1 + 30° = 180°，
解得∠1 = 50°。
又∵ CE // BF，AB为截线，∠1和∠B是同位角，
∴ ∠B = ∠1 = 50°。
∵ ∠1 = ∠2，
∴ CE // BF（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠3 = ∠BFD（两直线平行，同位角相等），
又∵ ∠3 = ∠C，
∴ ∠BFD = ∠C，
∴ AB // CD（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ 直线AD与CE交于点G，
∴ ∠2 = ∠3（对顶角相等），
∵ ∠2 + ∠4 = 180°，
∴ ∠3 + ∠4 = 180°，
∴ CE // BF（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠C + ∠BFC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ ∠3 = ∠C，∠1 = ∠2，∠2 = ∠3，
∴ ∠C = ∠1，
由题设∠BFC - 30° = 2∠1，得∠BFC = 2∠1 + 30°，
代入∠C + ∠BFC = 180°：
∠1 + 2∠1 + 30° = 180°，
解得∠1 = 50°。
又∵ CE // BF，AB为截线，∠1和∠B是同位角，
∴ ∠B = ∠1 = 50°。
