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12.某古镇为发展旅游产业,吸引更多的游客前往游览,助力乡村振兴,决定在“五一”期间对团队旅游实行门票特价优惠活动,价格如下表：
现有甲、乙两个团队(每个团队均不少于10人)共102人,计划“五一”期间到该古镇旅游,其中甲团队不足50人,乙团队多于50人.
(1)如果两个团队分别购票,一共应付5 580元,那么甲、乙团队各有多少人?
(2)如果两个团队一起购票,比两个团队各自购票节省的费用不少于1 200元,那么甲团队最少有多少人?
现有甲、乙两个团队(每个团队均不少于10人)共102人,计划“五一”期间到该古镇旅游,其中甲团队不足50人,乙团队多于50人.
(1)如果两个团队分别购票,一共应付5 580元,那么甲、乙团队各有多少人?
(2)如果两个团队一起购票,比两个团队各自购票节省的费用不少于1 200元,那么甲团队最少有多少人?
答案
12.解:(1)设甲团队有x人,则乙团队有(102-x)人.由题意,知10≤x＜50,52＜102-x≤92,所以60x+50(102-x)=5 580,解得x=48,102-x=54.
答:甲团队有48人,乙团队有54人.
(2)设甲团队有y人,则乙团队有(102-y)人.甲、乙团队一起买票的费用为102×40=4 080,甲、乙团队分开买票的费用为60y+50(102-y),所以60y+50(102-y)-4 080≥1 200,解得y≥18.
答:甲团队最少有18人.
答:甲团队有48人,乙团队有54人.
(2)设甲团队有y人,则乙团队有(102-y)人.甲、乙团队一起买票的费用为102×40=4 080,甲、乙团队分开买票的费用为60y+50(102-y),所以60y+50(102-y)-4 080≥1 200,解得y≥18.
答:甲团队最少有18人.
解析
【分析】
第(1)问：已知两团队总人数为102人，甲团队不足50人、乙团队多于50人，因此甲团队对应票价60元/人，乙团队对应票价50元/人。设甲团队人数为未知数，乙团队人数可用总人数减去甲团队人数表示，再结合“分别购票总费用为5580元”的等量关系列一元一次方程即可求解。
第(2)问：两团队总人数102＞100，联合购票对应票价为40元/人，可先算出联合购票的总费用。要满足“联合购票比分别购票节省的费用不少于1200元”，设甲团队人数为未知数，用含未知数的式子表示分开购票的总费用，根据“分开购票总费用-联合购票总费用≥1200”的不等关系列不等式求解，同时注意人数需符合实际取值要求。
【解析】
(1) 设甲团队有$x$人，则乙团队有$(102-x)$人。
由题意得$10≤ x＜50$，因此$52＜102-x≤92$，符合51~100人的票价区间，甲单人票价60元，乙单人票价50元，列方程：
$60x + 50(102-x) = 5580$
展开得：$60x + 5100 - 50x = 5580$
合并同类项得：$10x = 480$
解得：$x=48$
则乙团队人数为$102-48=54$（人）
(2) 设甲团队有$y$人，则乙团队有$(102-y)$人。
两团队联合购票总人数超过100，总费用为：$102×40=4080$（元）
分开购票总费用为$60y+50(102-y)$元，根据节省费用不少于1200元列不等式：
$60y + 50(102-y) - 4080 ≥ 1200$
展开得：$60y + 5100 - 50y - 4080 ≥ 1200$
化简得：$10y + 1020 ≥ 1200$
解得：$y≥18$，符合团队人数不少于10人的要求。
【答案】
(1) 甲团队有48人，乙团队有54人；
(2) 甲团队最少有18人。
【知识点】
一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，分段计费问题
【点评】
本题结合实际购票优惠场景出题，解题核心是根据人数区间准确匹配对应票价，找准等量关系、不等关系分别列方程和不等式求解，同时要注意人数取值需符合实际限制条件。
【难度系数】
0.7
第(1)问：已知两团队总人数为102人，甲团队不足50人、乙团队多于50人，因此甲团队对应票价60元/人，乙团队对应票价50元/人。设甲团队人数为未知数，乙团队人数可用总人数减去甲团队人数表示，再结合“分别购票总费用为5580元”的等量关系列一元一次方程即可求解。
第(2)问：两团队总人数102＞100，联合购票对应票价为40元/人，可先算出联合购票的总费用。要满足“联合购票比分别购票节省的费用不少于1200元”，设甲团队人数为未知数，用含未知数的式子表示分开购票的总费用，根据“分开购票总费用-联合购票总费用≥1200”的不等关系列不等式求解，同时注意人数需符合实际取值要求。
【解析】
(1) 设甲团队有$x$人，则乙团队有$(102-x)$人。
由题意得$10≤ x＜50$，因此$52＜102-x≤92$，符合51~100人的票价区间，甲单人票价60元，乙单人票价50元，列方程：
$60x + 50(102-x) = 5580$
展开得：$60x + 5100 - 50x = 5580$
合并同类项得：$10x = 480$
解得：$x=48$
则乙团队人数为$102-48=54$（人）
(2) 设甲团队有$y$人，则乙团队有$(102-y)$人。
两团队联合购票总人数超过100，总费用为：$102×40=4080$（元）
分开购票总费用为$60y+50(102-y)$元，根据节省费用不少于1200元列不等式：
$60y + 50(102-y) - 4080 ≥ 1200$
展开得：$60y + 5100 - 50y - 4080 ≥ 1200$
化简得：$10y + 1020 ≥ 1200$
解得：$y≥18$，符合团队人数不少于10人的要求。
【答案】
(1) 甲团队有48人，乙团队有54人；
(2) 甲团队最少有18人。
【知识点】
一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，分段计费问题
【点评】
本题结合实际购票优惠场景出题，解题核心是根据人数区间准确匹配对应票价，找准等量关系、不等关系分别列方程和不等式求解，同时要注意人数取值需符合实际限制条件。
【难度系数】
0.7
13. [2025·阜阳太和期末]近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展,人形机器人的应用场景不断拓展.某快递企业为提高工作效率,拟购买 A,B 两种型号的智能机器人进行快递分拣,相关信息如下:
信息一
| A型智能机器人/台 | B型智能机器人/台 | 总费用/万元 |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 |
3 | 26 |
| 3 | 2 | 36 |
信息二
A型智能机器人每台每天可分拣快递 22 万件;B型智能机器人每台每天可分拣快递 18 万件.
(1)求 A,B 两种型号智能机器人的单价.
(2)该企业准备购买 A,B 两种型号智能机器人共 10 台,需要每天分拣快递不少于 200 万件,该企业最少需要购买几台 A 型智能机器人?
(3)在(2)的基础上要使购买机器人的总费用不超过 75 万元,有哪几种购买方案?
信息一
| A型智能机器人/台 | B型智能机器人/台 | 总费用/万元 |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 |
3 | 26 || 3 | 2 | 36 |
信息二
A型智能机器人每台每天可分拣快递 22 万件;B型智能机器人每台每天可分拣快递 18 万件.
(1)求 A,B 两种型号智能机器人的单价.
(2)该企业准备购买 A,B 两种型号智能机器人共 10 台,需要每天分拣快递不少于 200 万件,该企业最少需要购买几台 A 型智能机器人?
(3)在(2)的基础上要使购买机器人的总费用不超过 75 万元,有哪几种购买方案?
答案
13.解:(1)设A型智能机器人的单价为x万元,B型智能机器人的单价为y万元.由题意,得$\begin{cases} x+3y=26,\\3x+2y=36, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=8,\\y=6. \end{cases}$
答:A型智能机器人的单价为8万元,B型智能机器人的单价为6万元.
(2)设该企业需要购买A型智能机器人a台,则需要购买B型智能机器人(10-a)台.由题意,得22a+18(10-a)≥200,解得a≥5.
答:该企业最少需要购买5台A型智能机器人.
(3)由题意,得8a+6(10-a)≤75,解得a≤7.5.因为a≥5,所以5≤a≤7.5.又因为a为正整数,所以a的值可为5,6,7,即该企业购买机器人的方案有3种.方案1:购买A型智能机器人5台,B型智能机器人5台;方案2:购买A型智能机器人6台,B型智能机器人4台;方案3:购买A型智能机器人7台,B型智能机器人3台.
答:A型智能机器人的单价为8万元,B型智能机器人的单价为6万元.
(2)设该企业需要购买A型智能机器人a台,则需要购买B型智能机器人(10-a)台.由题意,得22a+18(10-a)≥200,解得a≥5.
答:该企业最少需要购买5台A型智能机器人.
(3)由题意,得8a+6(10-a)≤75,解得a≤7.5.因为a≥5,所以5≤a≤7.5.又因为a为正整数,所以a的值可为5,6,7,即该企业购买机器人的方案有3种.方案1:购买A型智能机器人5台,B型智能机器人5台;方案2:购买A型智能机器人6台,B型智能机器人4台;方案3:购买A型智能机器人7台,B型智能机器人3台.
解析
【分析】
(1)要计算A、B两种型号机器人的单价，可分别设两个未知数，根据表格给出的两组购买数量与总费用的对应关系，列出二元一次方程组求解即可。
(2)要计算最少购买A型机器人的数量，可设购买A型a台，则B型为(10-a)台，根据“每天分拣快递不少于200万件”的不等关系列一元一次不等式，求出a的取值范围后取最小正整数即可。
(3)在第二问a≥5的基础上，根据“总费用不超过75万元”列新的不等式求出a的上限，结合a为正整数的要求确定a的所有可能取值，对应写出购买方案即可。
【解析】
(1)设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元。
由题意得$\begin{cases} x+3y=26\\3x+2y=36 \end{cases}$
将第一个方程乘3得$3x+9y=78$，减去第二个方程得$7y=42$，解得$y=6$，将$y=6$代入$x+3y=26$，得$x=8$，即$\begin{cases} x=8\\y=6 \end{cases}$。
(2)设该企业需要购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人$(10-a)$台。
由题意得$22a+18(10-a)≥200$
化简得$4a≥20$，解得$a≥5$，即a的最小正整数值为5。
(3)由题意得$8a+6(10-a)≤75$
化简得$2a≤15$，解得$a≤7.5$。
结合(2)的结论$a≥5$，且a为正整数，因此a可取5、6、7，对应3种方案：
方案1：购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；
方案2：购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台；
方案3：购买A型智能机器人7台，B型智能机器人3台。
【答案】
(1)A型智能机器人的单价为8万元，B型智能机器人的单价为6万元；
(2)最少需要购买5台A型智能机器人；
(3)共有3种购买方案：①购买A型5台，B型5台；②购买A型6台，B型4台；③购买A型7台，B型3台。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，方案设计
【点评】
本题结合实际应用场景，考查了方程组与不等式的综合运用，解题核心是准确提取题干中的等量关系与不等关系，注意未知数的取值要符合实际意义（机器人台数为正整数）。
【难度系数】
0.7
(1)要计算A、B两种型号机器人的单价，可分别设两个未知数，根据表格给出的两组购买数量与总费用的对应关系，列出二元一次方程组求解即可。
(2)要计算最少购买A型机器人的数量，可设购买A型a台，则B型为(10-a)台，根据“每天分拣快递不少于200万件”的不等关系列一元一次不等式，求出a的取值范围后取最小正整数即可。
(3)在第二问a≥5的基础上，根据“总费用不超过75万元”列新的不等式求出a的上限，结合a为正整数的要求确定a的所有可能取值，对应写出购买方案即可。
【解析】
(1)设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元。
由题意得$\begin{cases} x+3y=26\\3x+2y=36 \end{cases}$
将第一个方程乘3得$3x+9y=78$，减去第二个方程得$7y=42$，解得$y=6$，将$y=6$代入$x+3y=26$，得$x=8$，即$\begin{cases} x=8\\y=6 \end{cases}$。
(2)设该企业需要购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人$(10-a)$台。
由题意得$22a+18(10-a)≥200$
化简得$4a≥20$，解得$a≥5$，即a的最小正整数值为5。
(3)由题意得$8a+6(10-a)≤75$
化简得$2a≤15$，解得$a≤7.5$。
结合(2)的结论$a≥5$，且a为正整数，因此a可取5、6、7，对应3种方案：
方案1：购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；
方案2：购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台；
方案3：购买A型智能机器人7台，B型智能机器人3台。
【答案】
(1)A型智能机器人的单价为8万元，B型智能机器人的单价为6万元；
(2)最少需要购买5台A型智能机器人；
(3)共有3种购买方案：①购买A型5台，B型5台；②购买A型6台，B型4台；③购买A型7台，B型3台。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，方案设计
【点评】
本题结合实际应用场景，考查了方程组与不等式的综合运用，解题核心是准确提取题干中的等量关系与不等关系，注意未知数的取值要符合实际意义（机器人台数为正整数）。
【难度系数】
0.7
