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18. 一块写有校训的花岗岩石料质量为 31.8 t,密度为 $2.65× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$,立在用砖砌成的长为 4 m、宽为 2 m、高为 0.5 m 的水平基座上,石料与基座的接触面积为 $2.12\ \mathrm{m}^2$.已知砖的密度为 $2.05× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$,基座砖缝中水泥砂浆的密度与砖的密度相同.(g 取 10 N/kg)
(1)求花岗岩石料的体积.
(2)求石料对基座的压强.
(3)求石料对基座的压强与基座对地面的压强之比.
(1)求花岗岩石料的体积.
(2)求石料对基座的压强.
(3)求石料对基座的压强与基座对地面的压强之比.
答案
18.(1)花岗岩石料的体积$V_{石}=\frac{m_{石}}{\rho_{石}}=\frac{31.8×10^3\ \mathrm{kg}}{2.65×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=12\ \mathrm{m}^3$.
(2)由于石料放在水平基座上,石料对基座的压力大小等于石料受到的重力大小,即$F_{石}=G_{石}=m_{石} g=31.8×10^3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=3.18×10^5\ \mathrm{N}$,则石料对基座的压强$p_{石}=\frac{F_{石}}{S_{石}}=\frac{3.18×10^5\ \mathrm{N}}{2.12\ \mathrm{m}^2}=1.5×10^5\ \mathrm{Pa}$.
(3)基座受到的重力大小$G_{基}= m_{基} g=\rho_{基} V_{基} g=2.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×(4\ \mathrm{m}×2\ \mathrm{m}×0.5\ \mathrm{m})×10\ \mathrm{N/kg}= 8.2×10^4\ \mathrm{N}$,基座对地面的压强$p_{基}=\frac{F}{S_{基}}=\frac{G_{石}+ G_{基}}{S_{基}}=\frac{3.18×10^5\ \mathrm{N} +8.2×10^4\ \mathrm{N}}{4\ \mathrm{m}×2\ \mathrm{m}}=5×10^4\ \mathrm{Pa}$.
则石料对基座的压强和基座对地面的压强之比$p_{石}: p_{基}=3:1$.
(2)由于石料放在水平基座上,石料对基座的压力大小等于石料受到的重力大小,即$F_{石}=G_{石}=m_{石} g=31.8×10^3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=3.18×10^5\ \mathrm{N}$,则石料对基座的压强$p_{石}=\frac{F_{石}}{S_{石}}=\frac{3.18×10^5\ \mathrm{N}}{2.12\ \mathrm{m}^2}=1.5×10^5\ \mathrm{Pa}$.
(3)基座受到的重力大小$G_{基}= m_{基} g=\rho_{基} V_{基} g=2.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×(4\ \mathrm{m}×2\ \mathrm{m}×0.5\ \mathrm{m})×10\ \mathrm{N/kg}= 8.2×10^4\ \mathrm{N}$,基座对地面的压强$p_{基}=\frac{F}{S_{基}}=\frac{G_{石}+ G_{基}}{S_{基}}=\frac{3.18×10^5\ \mathrm{N} +8.2×10^4\ \mathrm{N}}{4\ \mathrm{m}×2\ \mathrm{m}}=5×10^4\ \mathrm{Pa}$.
则石料对基座的压强和基座对地面的压强之比$p_{石}: p_{基}=3:1$.
19. 在抗洪抢险中，几位同学找到了一张总体积为$0.3\ \mathrm{m}^3$的质量分布均匀的长方体塑料泡沫床垫，将其放入水中时，床垫有$\frac{1}{5}$的体积浸没在水中，若$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$，$\rho_{\mathrm{水}}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$。
请问：
（1）此时床垫受到的浮力为多大？
（2）床垫的密度是多少？
（3）若被救的人的平均质量为$50\ \mathrm{kg}$，要保证安全，该床垫一次最多能承载几个人？
请问：
（1）此时床垫受到的浮力为多大？
（2）床垫的密度是多少？
（3）若被救的人的平均质量为$50\ \mathrm{kg}$，要保证安全，该床垫一次最多能承载几个人？
答案
19.(1)由浮力公式得$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×10\ \mathrm{N/kg} ×0.3\ \mathrm{m}^3 ×\frac{1}{5}=600\ \mathrm{N}$.
(2)由床垫漂浮,重力和浮力平衡得$F_{浮}=G=mg$,可知$m=\frac{F_{浮}}{g}=\frac{600\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=60\ \mathrm{kg}$,则$\rho_{床垫}=\frac{m}{V}=\frac{60\ \mathrm{kg}}{0.3\ \mathrm{m}^3}= 0.2 ×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$.
(3)设床垫能承载的重力为$G_{载}$,则$G_{载}+G_{床垫}=F'_{浮}$.当床垫全部浸入水中时,床垫所受浮力最大,$F'_{浮}=\rho_{水}gV'_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×10\ \mathrm{N/kg} ×0.3\ \mathrm{m}^3 =3×10^3\ \mathrm{N}$. 床垫能承受的最大重力$G_{载}=F'_{浮}-G_{床垫}=3×10^3\ \mathrm{N}-600\ \mathrm{N}=2400\ \mathrm{N}$. 一个人的重力$G_{人}=mg=50\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg} =500\ \mathrm{N}$. 床垫能承载的人数$n=\frac{2400\ \mathrm{N}}{500\ \mathrm{N/个}}=4.8$个,则最多能承载4个人.
(2)由床垫漂浮,重力和浮力平衡得$F_{浮}=G=mg$,可知$m=\frac{F_{浮}}{g}=\frac{600\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=60\ \mathrm{kg}$,则$\rho_{床垫}=\frac{m}{V}=\frac{60\ \mathrm{kg}}{0.3\ \mathrm{m}^3}= 0.2 ×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$.
(3)设床垫能承载的重力为$G_{载}$,则$G_{载}+G_{床垫}=F'_{浮}$.当床垫全部浸入水中时,床垫所受浮力最大,$F'_{浮}=\rho_{水}gV'_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×10\ \mathrm{N/kg} ×0.3\ \mathrm{m}^3 =3×10^3\ \mathrm{N}$. 床垫能承受的最大重力$G_{载}=F'_{浮}-G_{床垫}=3×10^3\ \mathrm{N}-600\ \mathrm{N}=2400\ \mathrm{N}$. 一个人的重力$G_{人}=mg=50\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg} =500\ \mathrm{N}$. 床垫能承载的人数$n=\frac{2400\ \mathrm{N}}{500\ \mathrm{N/个}}=4.8$个,则最多能承载4个人.
