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10.若一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，则它的面积为。
答案
$\boldsymbol{30}$
解析
解：设该直角三角形的另一条直角边长为$x$，
由勾股定理得：
$x=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
则该直角三角形的面积为：
$S=\frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$
由勾股定理得：
$x=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
则该直角三角形的面积为：
$S=\frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$
11.如图,等边三角形ABC的边长为6,则高AD的长为.
（第11题图）
（第16题图）
（第11题图）
（第16题图）
答案
$3\sqrt{3}$
解析
解：
∵ △ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴ BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2} × 6 = 3$，∠ADB = 90°。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
∵ △ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴ BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2} × 6 = 3$，∠ADB = 90°。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
12.若一个直角三角形的三边长为连续整数，则这三个数为。
答案
解：设这三个连续整数中，中间的数为$ x $，则另外两个数分别为$ x-1 $、$ x+1 $，其中最长边$ x+1 $为直角三角形的斜边。
根据勾股定理列方程：
$(x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开整理得：
$x^2 -4x = 0$
因式分解得：
$x(x-4)=0$
解得$ x_1=4 $，$ x_2=0 $。
因为三角形边长为正整数，$ x=0 $不符合题意，舍去。
则$ x-1=3 $，$ x+1=5 $。
所以这三个数为3，4，5。
根据勾股定理列方程：
$(x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开整理得：
$x^2 -4x = 0$
因式分解得：
$x(x-4)=0$
解得$ x_1=4 $，$ x_2=0 $。
因为三角形边长为正整数，$ x=0 $不符合题意，舍去。
则$ x-1=3 $，$ x+1=5 $。
所以这三个数为3，4，5。
13. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a:b=3:4$，$c=20$，则$a=$。
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
解：
∵ $a:b = 3:4$
∴ 设 $a = 3k$，$b = 4k$（$k＞0$）
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$a^2 + b^2 = c^2$
代入得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 20^2$
$9k^2 + 16k^2 = 400$
$25k^2 = 400$
$k^2 = 16$
∵ $k＞0$，∴ $k=4$
∴ $a = 3k = 12$
∵ $a:b = 3:4$
∴ 设 $a = 3k$，$b = 4k$（$k＞0$）
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$a^2 + b^2 = c^2$
代入得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 20^2$
$9k^2 + 16k^2 = 400$
$25k^2 = 400$
$k^2 = 16$
∵ $k＞0$，∴ $k=4$
∴ $a = 3k = 12$
14.已知一个正方形的边长为3，则它的对角线的长为.
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$
解析
解：
正方形的相邻两条边与对角线构成直角三角形，两条直角边长均为3。
根据勾股定理，对角线的长为：
$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
正方形的相邻两条边与对角线构成直角三角形，两条直角边长均为3。
根据勾股定理，对角线的长为：
$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
15.若一个直角三角形的两直角边的长分别为$\sqrt{3}$和$\sqrt{6}$，则斜边长为。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
解：根据勾股定理，直角三角形斜边长为：
$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{3+6} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{3+6} = \sqrt{9} = 3$
16.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，斜边$c=5$，一条直角边$a=3$，则斜边上的高$CD$长为。
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，斜边$AB=c=5$，直角边$BC=a=3$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
化简得$AC· BC=AB· CD$，
代入数值：$4×3=5· CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}$。
$\frac{12}{5}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，斜边$AB=c=5$，直角边$BC=a=3$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
化简得$AC· BC=AB· CD$，
代入数值：$4×3=5· CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}$。
$\frac{12}{5}$
17. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=c$，$BC=a$，$AC=b$.
(1)若$a=7$，$b=24$，求$c$的值；
(2)若$a=4$，$c=7$，求$b$的值.
(1)若$a=7$，$b=24$，求$c$的值；
(2)若$a=4$，$c=7$，求$b$的值.
答案
解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$c^2 = a^2 + b^2$
将$a=7$，$b=24$代入得：
$c^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
$\because c＞0$，
$\therefore c = \sqrt{625} = 25$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$a^2 + b^2 = c^2$，即$b^2 = c^2 - a^2$
将$a=4$，$c=7$代入得：
$b^2 = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33$
$\because b＞0$，
$\therefore b = \sqrt{33}$。
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$c^2 = a^2 + b^2$
将$a=7$，$b=24$代入得：
$c^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
$\because c＞0$，
$\therefore c = \sqrt{625} = 25$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$a^2 + b^2 = c^2$，即$b^2 = c^2 - a^2$
将$a=4$，$c=7$代入得：
$b^2 = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33$
$\because b＞0$，
$\therefore b = \sqrt{33}$。
