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9 先化简,再求值: $(a+1-\dfrac{4a-5}{a-1})÷(\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{2}{a^2-a})$,其中 $a=-1$.
答案
9. 原式$=\dfrac{(a+1)(a-1)-(4a-5)}{a-1} ÷ \dfrac{a-2}{a(a-1)} = \dfrac{(a-2)^2}{a-1} · \dfrac{a(a-1)}{a-2} =a^2-2a$. 当$a=-1$时,原式$=3$
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对两个括号内的分式分别通分，将异分母分式转化为同分母分式后计算分子；再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解和约分得到最简分式；最后把给定的$a=-1$代入最简式计算结果。具体步骤：1. 处理第一个括号，将整式$a+1$转化为同分母分式后合并计算分子；2. 处理第二个括号，对分母因式分解后通分计算分子；3. 把除法变为乘法，约去相同因式得到最简式；4. 代入$a=-1$求值。
【解析】
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=\frac{(a+1)(a-1)-(4a-5)}{a-1} ÷ \frac{a-2}{a(a-1)}\\=&\frac{a^2 -1 -4a +5}{a-1} ÷ \frac{a-2}{a(a-1)}\\=&\frac{a^2 -4a +4}{a-1} × \frac{a(a-1)}{a-2}\\=&\frac{(a-2)^2}{a-1} × \frac{a(a-1)}{a-2}\\=&a(a-2)=a^2 -2a\end{aligned}$
当$a=-1$时，原式$=(-1)^2 -2×(-1)=1+2=3$
【答案】
3
【知识点】
分式的化简求值，分式的通分约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式通分、约分的基本方法，运算时需注意整式与分式通分的技巧，以及因式分解的正确性，代入求值时要准确处理符号，整体难度适中，能有效考查学生对分式运算的掌握情况。
【难度系数】
0.7
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对两个括号内的分式分别通分，将异分母分式转化为同分母分式后计算分子；再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解和约分得到最简分式；最后把给定的$a=-1$代入最简式计算结果。具体步骤：1. 处理第一个括号，将整式$a+1$转化为同分母分式后合并计算分子；2. 处理第二个括号，对分母因式分解后通分计算分子；3. 把除法变为乘法，约去相同因式得到最简式；4. 代入$a=-1$求值。
【解析】
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=\frac{(a+1)(a-1)-(4a-5)}{a-1} ÷ \frac{a-2}{a(a-1)}\\=&\frac{a^2 -1 -4a +5}{a-1} ÷ \frac{a-2}{a(a-1)}\\=&\frac{a^2 -4a +4}{a-1} × \frac{a(a-1)}{a-2}\\=&\frac{(a-2)^2}{a-1} × \frac{a(a-1)}{a-2}\\=&a(a-2)=a^2 -2a\end{aligned}$
当$a=-1$时，原式$=(-1)^2 -2×(-1)=1+2=3$
【答案】
3
【知识点】
分式的化简求值，分式的通分约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式通分、约分的基本方法，运算时需注意整式与分式通分的技巧，以及因式分解的正确性，代入求值时要准确处理符号，整体难度适中，能有效考查学生对分式运算的掌握情况。
【难度系数】
0.7
10 下列各式计算正确的是（
A.$x^{-3}+x^{-3}=2x^{-6}$
B.$x^{-3}· x^{-3}=x^{-6}$
C.$(x^{-2})^{-3}=x^{5}$
D.$(3x)^{-2}=-9x^{2}$
B
）A.$x^{-3}+x^{-3}=2x^{-6}$
B.$x^{-3}· x^{-3}=x^{-6}$
C.$(x^{-2})^{-3}=x^{5}$
D.$(3x)^{-2}=-9x^{2}$
答案
10. B
解析
【分析】本题考查负整数指数幂的运算，解题思路是根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则及负整数指数幂的性质，逐一分析每个选项的计算结果，判断其正确性，从而选出正确选项。
【解析】
选项A：根据合并同类项法则，同类项相加时系数相加，字母和指数不变，因此$x^{-3}+x^{-3}=2x^{-3}≠2x^{-6}$，故A错误；
选项B：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{-3}·x^{-3}=x^{-3+(-3)}=x^{-6}$，故B正确；
选项C：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(x^{-2})^{-3}=x^{-2×(-3)}=x^{6}≠ x^{5}$，故C错误；
选项D：根据积的乘方法则和负整数指数幂的性质，$(3x)^{-2}=3^{-2}·x^{-2}=\frac{1}{9x^{2}}≠ -9x^{2}$，故D错误。
【答案】B
【知识点】负整数指数幂运算、同底数幂乘法、幂的乘方
【点评】本题属于基础的幂运算题目，主要考查负整数指数幂相关的运算法则，需要学生熟练掌握各类幂运算的公式，避免指数运算中符号、系数或指数计算错误，整体难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】
选项A：根据合并同类项法则，同类项相加时系数相加，字母和指数不变，因此$x^{-3}+x^{-3}=2x^{-3}≠2x^{-6}$，故A错误；
选项B：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{-3}·x^{-3}=x^{-3+(-3)}=x^{-6}$，故B正确；
选项C：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(x^{-2})^{-3}=x^{-2×(-3)}=x^{6}≠ x^{5}$，故C错误；
选项D：根据积的乘方法则和负整数指数幂的性质，$(3x)^{-2}=3^{-2}·x^{-2}=\frac{1}{9x^{2}}≠ -9x^{2}$，故D错误。
【答案】B
【知识点】负整数指数幂运算、同底数幂乘法、幂的乘方
【点评】本题属于基础的幂运算题目，主要考查负整数指数幂相关的运算法则，需要学生熟练掌握各类幂运算的公式，避免指数运算中符号、系数或指数计算错误，整体难度较低。
【难度系数】0.7
11 世界上最小的鸟是生活在古巴的一种吸蜜蜂鸟,它的质量约为0.0016 kg,将0.0016用科学记数法表示为
$1.6×10^{-3}$
.答案
11. $1.6×10^{-3}$
解析
【分析】首先明确科学记数法表示绝对值小于1的数的规则：将原数写成$a×10^{-n}$的形式，其中$1≤|a|＜10$，$n$是原数中第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）。对于0.0016，先确定$a=1.6$，再数第一个非零数字1前面的零的个数，共3个，即可得出结果。
【解析】科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。当原数绝对值小于1时，$n$是负数，$n$的绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）。对于0.0016，左边第一个非零数字是1，其前面有3个零，所以$a=1.6$，$n=-3$，因此0.0016用科学记数法表示为$1.6×10^{-3}$。
【答案】$1.6×10^{-3}$
【知识点】科学记数法-表示较小的数
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，核心是掌握$n$的确定方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。当原数绝对值小于1时，$n$是负数，$n$的绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）。对于0.0016，左边第一个非零数字是1，其前面有3个零，所以$a=1.6$，$n=-3$，因此0.0016用科学记数法表示为$1.6×10^{-3}$。
【答案】$1.6×10^{-3}$
【知识点】科学记数法-表示较小的数
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，核心是掌握$n$的确定方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.9
12 解方程：
(1) $\dfrac{x-9}{x-5}-\dfrac{3}{5-x}=\dfrac{1}{2}$；
(2) $\dfrac{4}{x^{2}+x}-\dfrac{3}{x^{2}-x}=0.$
(1) $\dfrac{x-9}{x-5}-\dfrac{3}{5-x}=\dfrac{1}{2}$；
(2) $\dfrac{4}{x^{2}+x}-\dfrac{3}{x^{2}-x}=0.$
答案
12. (1) $x=7$ (2) $x=7$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根是否使原分式方程的分母不为0（排除增根）。对于(1)，先利用分母的相反数关系统一分式分母，再去分母化整式方程；对于(2)，先分解分母因式找最简公分母，去分母后解整式方程并检验。
【解析】
(1) 原方程变形为：$\dfrac{x-9}{x-5} + \dfrac{3}{x-5} = \dfrac{1}{2}$，
合并左边得：$\dfrac{x-6}{x-5} = \dfrac{1}{2}$，
两边同乘$2(x-5)$（$x≠5$）去分母得：$2(x-6)=x-5$，
展开计算：$2x-12=x-5$，
移项合并得：$x=7$，
检验：当$x=7$时，$x-5=2≠0$，故$x=7$是原方程的解。
(2) 原方程分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，
最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，两边同乘该公分母（$x≠0,-1,1$）去分母得：
$4(x-1)-3(x+1)=0$，
展开计算：$4x-4-3x-3=0$，
合并同类项得：$x-7=0$，解得$x=7$，
检验：当$x=7$时，各分母均不为0，故$x=7$是原方程的解。
【答案】
(1) $x=7$；(2) $x=7$
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的求解，需注意去分母时的符号处理及增根检验，属于基础题型，学生掌握基本步骤即可解答。
【难度系数】
0.5
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根是否使原分式方程的分母不为0（排除增根）。对于(1)，先利用分母的相反数关系统一分式分母，再去分母化整式方程；对于(2)，先分解分母因式找最简公分母，去分母后解整式方程并检验。
【解析】
(1) 原方程变形为：$\dfrac{x-9}{x-5} + \dfrac{3}{x-5} = \dfrac{1}{2}$，
合并左边得：$\dfrac{x-6}{x-5} = \dfrac{1}{2}$，
两边同乘$2(x-5)$（$x≠5$）去分母得：$2(x-6)=x-5$，
展开计算：$2x-12=x-5$，
移项合并得：$x=7$，
检验：当$x=7$时，$x-5=2≠0$，故$x=7$是原方程的解。
(2) 原方程分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，
最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，两边同乘该公分母（$x≠0,-1,1$）去分母得：
$4(x-1)-3(x+1)=0$，
展开计算：$4x-4-3x-3=0$，
合并同类项得：$x-7=0$，解得$x=7$，
检验：当$x=7$时，各分母均不为0，故$x=7$是原方程的解。
【答案】
(1) $x=7$；(2) $x=7$
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的求解，需注意去分母时的符号处理及增根检验，属于基础题型，学生掌握基本步骤即可解答。
【难度系数】
0.5
13 某文化用品商店用2 000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但进价贵了4元，结果购进第二批书包花了6 300元.
(1) 第一批书包每个的进价是多少元？
(2) 若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，则全部售出后，商店共盈利多少元？
(1) 第一批书包每个的进价是多少元？
(2) 若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，则全部售出后，商店共盈利多少元？
答案
13. (1) 设第一批书包每个的进价是$x$元. 根据题意,得$\dfrac{2000}{x}·3=\dfrac{6300}{x+4}$,解得$x=80$. 经检验,$x=80$是原分式方程的解,且符合题意. $\therefore$ 第一批书包每个的进价是80元 (2) $\dfrac{2000}{80}×(120-80)+\dfrac{6300}{80+4}×(120-84)=1000+2700=3700$(元),即商店共盈利3700元
解析
【分析】
本题是分式方程的实际应用问题，分两小问求解。第(1)问，设第一批书包每个的进价为未知数，利用“第二批购进数量是第一批的3倍”这一等量关系，结合两批的总进价和单价，列出分式方程，求解后需检验解的合理性；第(2)问，盈利等于两批书包的总利润之和，分别计算每批的数量、单批利润，再求和即可得到总盈利。
【解析】
(1) 设第一批书包每个的进价是$x$元。
根据“第二批所购数量是第一批数量的3倍”，可得：
$\dfrac{2000}{x}·3=\dfrac{6300}{x+4}$
解方程：
两边同乘$x(x+4)$得：$3×2000(x+4)=6300x$
化简得：$6000x + 24000 = 6300x$
移项得：$300x=24000$
解得：$x=80$
经检验，$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此，第一批书包每个的进价是80元。
(2) 计算两批书包的数量：
第一批数量：$\dfrac{2000}{80}=25$（个）
第二批进价：$80+4=84$（元），数量：$\dfrac{6300}{84}=75$（个）
总盈利=第一批利润+第二批利润：
$25×(120-80) + 75×(120-84)$
$=25×40 + 75×36$
$=1000 + 2700$
$=3700$（元）
【答案】
(1) 第一批书包每个的进价是80元；(2) 商店共盈利3700元
【知识点】
分式方程的应用、利润问题计算
【点评】
本题是初中数学常见的分式方程应用题，解题核心是找准等量关系列方程，需注意分式方程解的检验（既要满足方程，也要符合实际意义），第二问盈利计算需明确“利润=（售价-进价）×数量”的公式，整体难度适中，属于学生需掌握的基础应用题。
【难度系数】
0.6
本题是分式方程的实际应用问题，分两小问求解。第(1)问，设第一批书包每个的进价为未知数，利用“第二批购进数量是第一批的3倍”这一等量关系，结合两批的总进价和单价，列出分式方程，求解后需检验解的合理性；第(2)问，盈利等于两批书包的总利润之和，分别计算每批的数量、单批利润，再求和即可得到总盈利。
【解析】
(1) 设第一批书包每个的进价是$x$元。
根据“第二批所购数量是第一批数量的3倍”，可得：
$\dfrac{2000}{x}·3=\dfrac{6300}{x+4}$
解方程：
两边同乘$x(x+4)$得：$3×2000(x+4)=6300x$
化简得：$6000x + 24000 = 6300x$
移项得：$300x=24000$
解得：$x=80$
经检验，$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此，第一批书包每个的进价是80元。
(2) 计算两批书包的数量：
第一批数量：$\dfrac{2000}{80}=25$（个）
第二批进价：$80+4=84$（元），数量：$\dfrac{6300}{84}=75$（个）
总盈利=第一批利润+第二批利润：
$25×(120-80) + 75×(120-84)$
$=25×40 + 75×36$
$=1000 + 2700$
$=3700$（元）
【答案】
(1) 第一批书包每个的进价是80元；(2) 商店共盈利3700元
【知识点】
分式方程的应用、利润问题计算
【点评】
本题是初中数学常见的分式方程应用题，解题核心是找准等量关系列方程，需注意分式方程解的检验（既要满足方程，也要符合实际意义），第二问盈利计算需明确“利润=（售价-进价）×数量”的公式，整体难度适中，属于学生需掌握的基础应用题。
【难度系数】
0.6
14 下列等式成立的是（
A.$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{a+b}$
B.$\dfrac{2}{2a+b}=\dfrac{1}{a+b}$
C.$\dfrac{ab}{ab-b^{2}}=\dfrac{a}{a-b}$
D.$\dfrac{a}{-a+b}=-\dfrac{a}{a+b}$
C
）A.$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{a+b}$
B.$\dfrac{2}{2a+b}=\dfrac{1}{a+b}$
C.$\dfrac{ab}{ab-b^{2}}=\dfrac{a}{a-b}$
D.$\dfrac{a}{-a+b}=-\dfrac{a}{a+b}$
答案
14. C
解析
【分析】要判断分式等式是否成立，需依据分式的基本性质，对每个选项的左右两边分别化简或变形，对比结果是否一致。分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；约分需先对分子分母因式分解，再约去公因式。
【解析】
选项A：左边通分可得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{b+2a}{ab}$，右边为$\frac{3}{a+b}$，分子分母均不相等，等式不成立；
选项B：右边$\frac{1}{a+b}$的分子分母同乘2得$\frac{2}{2a+2b}$，与左边分母$2a+b$不同，等式不成立；
选项C：左边分母因式分解为$ab - b^2 = b(a - b)$，则$\frac{ab}{ab - b^2}=\frac{ab}{b(a - b)}$，分子分母同除以$b$（$b≠0$），得$\frac{a}{a - b}$，与右边相等，等式成立；
选项D：左边分母$-a + b = -(a - b)$，则$\frac{a}{-a + b}=\frac{a}{-(a - b)}=-\frac{a}{a - b}$，右边为$-\frac{a}{a + b}$，分母不同，等式不成立。
综上，只有选项C正确。
【答案】C
【知识点】分式的基本性质、分式的约分
【点评】本题考查分式的基本性质及约分的应用，解题时需注意因式分解的正确性和符号的处理，是分式运算的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】0.7
【解析】
选项A：左边通分可得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{b+2a}{ab}$，右边为$\frac{3}{a+b}$，分子分母均不相等，等式不成立；
选项B：右边$\frac{1}{a+b}$的分子分母同乘2得$\frac{2}{2a+2b}$，与左边分母$2a+b$不同，等式不成立；
选项C：左边分母因式分解为$ab - b^2 = b(a - b)$，则$\frac{ab}{ab - b^2}=\frac{ab}{b(a - b)}$，分子分母同除以$b$（$b≠0$），得$\frac{a}{a - b}$，与右边相等，等式成立；
选项D：左边分母$-a + b = -(a - b)$，则$\frac{a}{-a + b}=\frac{a}{-(a - b)}=-\frac{a}{a - b}$，右边为$-\frac{a}{a + b}$，分母不同，等式不成立。
综上，只有选项C正确。
【答案】C
【知识点】分式的基本性质、分式的约分
【点评】本题考查分式的基本性质及约分的应用，解题时需注意因式分解的正确性和符号的处理，是分式运算的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】0.7
15 将$(\dfrac{1}{3})^{-1},(-3)^{0},(-3)^{-2}$这三个数按从小到大的顺序排列为（
A.$(-3)^{0}＜(\dfrac{1}{3})^{-1}＜(-3)^{-2}$
B.$(\dfrac{1}{3})^{-1}＜(-3)^{0}＜(-3)^{-2}$
C.$(-3)^{-2}＜(-3)^{0}＜(\dfrac{1}{3})^{-1}$
D.$(-3)^{0}＜(-3)^{-2}＜(\dfrac{1}{3})^{-1}$
C
）A.$(-3)^{0}＜(\dfrac{1}{3})^{-1}＜(-3)^{-2}$
B.$(\dfrac{1}{3})^{-1}＜(-3)^{0}＜(-3)^{-2}$
C.$(-3)^{-2}＜(-3)^{0}＜(\dfrac{1}{3})^{-1}$
D.$(-3)^{0}＜(-3)^{-2}＜(\dfrac{1}{3})^{-1}$
答案
15. C
解析
【分析】
要解决这道题，需先依据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算出三个数的具体数值，再根据有理数大小比较的规则对数值排序，最后匹配对应选项得出答案。
【解析】
1. 计算$(\dfrac{1}{3})^{-1}$：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，可得$(\dfrac{1}{3})^{-1}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{3})^1}=3$；
2. 计算$(-3)^0$：根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，可得$(-3)^0=1$；
3. 计算$(-3)^{-2}$：根据负整数指数幂法则，可得$(-3)^{-2}=\dfrac{1}{(-3)^2}=\dfrac{1}{9}$；
4. 比较大小：$\dfrac{1}{9}＜1＜3$，即$(-3)^{-2}＜(-3)^0＜(\dfrac{1}{3})^{-1}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算、有理数大小比较
【点评】
本题考查幂运算的基础规则，属于常规基础题，只要牢记零指数幂、负整数指数幂的运算法则，准确计算各数的值，即可完成大小排序，难度较低。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先依据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算出三个数的具体数值，再根据有理数大小比较的规则对数值排序，最后匹配对应选项得出答案。
【解析】
1. 计算$(\dfrac{1}{3})^{-1}$：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，可得$(\dfrac{1}{3})^{-1}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{3})^1}=3$；
2. 计算$(-3)^0$：根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，可得$(-3)^0=1$；
3. 计算$(-3)^{-2}$：根据负整数指数幂法则，可得$(-3)^{-2}=\dfrac{1}{(-3)^2}=\dfrac{1}{9}$；
4. 比较大小：$\dfrac{1}{9}＜1＜3$，即$(-3)^{-2}＜(-3)^0＜(\dfrac{1}{3})^{-1}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算、有理数大小比较
【点评】
本题考查幂运算的基础规则，属于常规基础题，只要牢记零指数幂、负整数指数幂的运算法则，准确计算各数的值，即可完成大小排序，难度较低。
【难度系数】
0.6
