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8. (2024·成都)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题目:今有共买琎,人出半,盈四;人出少半,不足三.问人数、琎价各几何? 其大意是:今有人合伙买琎石,每人出$\dfrac{1}{2}$钱,会多出 4 钱;每人出$\dfrac{1}{3}$钱,又差了 3 钱.问人数、琎价各是多少? 设人数为 $x$,琎价为 $y$,则可列方程组为 (
A.$\begin{cases}y = \dfrac{1}{2}x + 4,\\y = \dfrac{1}{3}x + 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}y = \dfrac{1}{2}x - 4,\\y = \dfrac{1}{3}x + 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}y = \dfrac{1}{2}x - 4,\\y = \dfrac{1}{3}x - 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}y = \dfrac{1}{2}x + 4,\\y = \dfrac{1}{3}x - 3\end{cases}$
B
)A.$\begin{cases}y = \dfrac{1}{2}x + 4,\\y = \dfrac{1}{3}x + 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}y = \dfrac{1}{2}x - 4,\\y = \dfrac{1}{3}x + 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}y = \dfrac{1}{2}x - 4,\\y = \dfrac{1}{3}x - 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}y = \dfrac{1}{2}x + 4,\\y = \dfrac{1}{3}x - 3\end{cases}$
答案
8. B 解析：$ \because $ 每人出 $ \frac{1}{2} $ 钱，会多出 4 钱，$ \therefore y = \frac{1}{2}x - 4 $；$ \because $ 每人出 $ \frac{1}{3} $ 钱，会差 3 钱，$ \therefore y = \frac{1}{3}x + 3 $。根据题意可列方程组为 $ \begin{cases} y = \frac{1}{2}x - 4, \\ y = \frac{1}{3}x + 3. \end{cases} $
9. 小亮求得方程组$\begin{cases}2x + y = ●,\\2x - y = 12\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = ★,\end{cases}$由于不小心滴上了两滴墨水,刚好遮住了两个数●和★,请你帮他算出"●""★"表示的数分别为 ( )
A.5、2
B.8、-2
C.8、2
D.5、4
A.5、2
B.8、-2
C.8、2
D.5、4
答案
9. B 解析：把 $ x = 5 $ 代入方程 $ 2x - y = 12 $，得 $ 10 - y = 12 $，解得 $ y = -2 $，即 $ ★ = -2 $，$ \therefore $ 方程组的解为 $ \begin{cases} x = 5, \\ y = -2, \end{cases} $ 再把方程组的解代入第 1 个方程，得 $ ● = 2 × 5 + (-2) = 8 $。
10. 一旅行团游客人住一家宾馆,如果每一间客房住 5 人,那么有 3 人无房可住;如果每一间客房住 6 人,那么就空出 2 间客房.设该宾馆有客房 $x$ 间、房客 $y$ 人,列出关于 $x、y$ 的二元一次方程组为.
答案
10. $ \begin{cases} 5x + 3 = y, \\ 6(x - 2) = y \end{cases} $ 解析：$ \because $ 每一间客房住 5 人，那么有 3 人无房可住，$ \therefore 5x + 3 = y $；$ \because $ 每一间客房住 6 人，那么就空出 2 间客房，$ \therefore 6(x - 2) = y $。根据题意可列出方程组为 $ \begin{cases} 5x + 3 = y, \\ 6(x - 2) = y. \end{cases} $
解析
$\begin{cases} 5x + 3 = y \\ 6(x - 2) = y \end{cases}$
11. 在解方程组$\begin{cases}2ax + y = 5,\\2x - by = 13\end{cases}$时,由于粗心,甲看错了方程组中的 $a$,得出解为$\begin{cases}x = \dfrac{7}{2},\\y = - 2;\end{cases}$乙看错了方程组中的 $b$,得出解为$\begin{cases}x = 3,\\y = - 7.\end{cases}$请问:甲把 $a$ 错看成了什么? 乙把 $b$ 错看成了什么?
答案
11. 将 $ \begin{cases} x = \frac{7}{2}, \\ y = -2 \end{cases} $ 代入方程组，得 $ \begin{cases} 7a - 2 = 5, \\ 7 + 2b = 13, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 1, \\ b = 3. \end{cases} $ 将 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = -7 \end{cases} $ 代入方程组，得 $ \begin{cases} 6a - 7 = 5, \\ 6 + 7b = 13, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 2, \\ b = 1, \end{cases} $ 则甲把 $ a $ 错看成了 1；乙把 $ b $ 错看成了 1。
解析
将$\begin{cases} x = \dfrac{7}{2}, \\ y = -2 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases}2ax + y = 5,\\2x - by = 13\end{cases}$，得$\begin{cases} 2a×\dfrac{7}{2} + (-2) = 5, \\ 2×\dfrac{7}{2} - b×(-2) = 13 \end{cases}$，化简为$\begin{cases}7a - 2 = 5, \\ 7 + 2b = 13\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1, \\ b = 3\end{cases}$。
将$\begin{cases} x = 3, \\ y = -7 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases}2ax + y = 5,\\2x - by = 13\end{cases}$，得$\begin{cases}2a×3 + (-7) = 5, \\ 2×3 - b×(-7) = 13\end{cases}$，化简为$\begin{cases}6a - 7 = 5, \\ 6 + 7b = 13\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2, \\ b = 1\end{cases}$。
甲把$a$错看成了$1$；乙把$b$错看成了$1$。
将$\begin{cases} x = 3, \\ y = -7 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases}2ax + y = 5,\\2x - by = 13\end{cases}$，得$\begin{cases}2a×3 + (-7) = 5, \\ 2×3 - b×(-7) = 13\end{cases}$，化简为$\begin{cases}6a - 7 = 5, \\ 6 + 7b = 13\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2, \\ b = 1\end{cases}$。
甲把$a$错看成了$1$；乙把$b$错看成了$1$。
12. 已知方程组$\begin{cases}2a - 3b = 13,\\3a + 5b = 30.9\end{cases}$的解为$\begin{cases}a = 8.3,\\b = 1.2,\end{cases}$求方程组$\begin{cases}2(x + 2) - 3(y - 1) = 13,\\3(x + 2) + 5(y - 1) = 30.9\end{cases}$的解.
答案
12. 由题可知，第二个方程组中的 $ (x + 2) $ 可看成是第一个方程组中的 $ a $，第二个方程组中的 $ (y - 1) $ 可看成是第一个方程组中的 $ b $。$ \because \begin{cases} a = 8.3, \\ b = 1.2, \end{cases} $ $ \therefore \begin{cases} x + 2 = 8.3, \\ y - 1 = 1.2, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 6.3, \\ y = 2.2, \end{cases} $ 故所求方程组的解为 $ \begin{cases} x = 6.3, \\ y = 2.2. \end{cases} $
