5. 下表是某校八年级(1)班20名学生某次数学测验的成绩统计表.

(1)若这20名学生成绩的平均分数为82分,求x和y的值.
(2)在(1)的条件下,设这20名学生本次测验成绩的众数为a,中位数为b,求a,b的值.

(1)$x=5,y=7$
(2)$a=90,b=80$

6. 按照“组内离差平方和达到最小”的方法,把图中的10个苹果按直径大小分成两组.

解:将10个数据由小到大排序:65,69,70,75,76,76,78,80,80,81.
把10个数据分成两组,共有9种情况:第一组1个数据$\{65\}$,第二组9个数据$\{69,\dots,81\}$;第一组2个数据$\{65,69\}$,第二组8个数据$\{70,\dots,81\}$;$\dots\dots$;第一组9个数据$\{65,\dots,80\}$,第二组1个数据$\{81\}$.
以第2种分组情况为例,计算组内离差平方和. 其中,第一组有2个数据$\{65,69\}$,这2个数据的平均数是67,故第一组数据的组内离差平方和$d_1^2=(65-67)^2+(69-67)^2=8$;第二组有8个数据$\{70,75,76,76,78,80,80,81\}$,这8个数据的平均数是77,故第二组数据的组内离差平方和$d_2^2=(70-77)^2+(75-77)^2+\dots+(81-77)^2=90$. 因此第2种分组情况的组内离差平方和$d_1^2+d_2^2=8+90=98$.
同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和,结果略.
计算结果表明,第3种情况的组内离差平方和最小. 因此把10个苹果按直径大小分成的两组是$\{65,69,70\}$,$\{75,76,76,78,80,80,81\}$.

7. 为了研究某花卉在不同土壤环境下的生长高度,从土壤A和土壤B两种环境中分别随机抽取了10株该花卉,测量其高度(单位:cm)如下:
土壤A:15,18,16,17,14,16,15,17,14,18.
土壤B:20,21,19,22,18,20,19,21,18,22.
(1)计算从土壤A中抽取的花卉高度数据的离差平方和.
(2)若将从土壤B中抽取的花卉高度数据再分成两组,使这两组数据的组内离差平方和最小,应如何分组(每组至少有1个数据)?此时的组内离差平方和是多少?

解:(1)首先计算土壤A数据的平均值
$\overline{x}_A=\dfrac{15+18+16+17+14+16+15+17+14+18}{10}=16$.
根据离差平方和公式计算每个数据与平均值的差的平方并求和:$(15-16)^2×2+(18-16)^2×2+(16-16)^2×2+(17-16)^2×2+(14-16)^2×2=1×2+4×2+0×2+1×2+4×2=20$.
(2)土壤B数据的离差平方和为20[计算:平均值为20,离差平方和为$(20-20)^2×2+(21-20)^2×2+(19-20)^2×2+(22-20)^2×2+(18-20)^2×2=0+2+2+8+8=20$].
根据“离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和”,要最小化组内离差平方和,需最大化组间离差平方和. 观察土壤B数据分布(18,18,19,19,20,20,21,21,22,22),将数据分成两组(如一组为$\{18,18,19,19,20,20\}$,另一组为$\{21,21,22,22\}$;或一组为$\{18,18,19,19\}$,另一组为$\{20,20,21,21,22,22\}$),使组内数据尽可能集中. 以第一种分法为例:组1($n_1=6$)均值$\overline{x}_1=19$,组2($n_2=4$)均值$\overline{x}_2=21.5$,组间离差平方和为$6×(19-20)^2+4×(21.5-20)^2=6+9=15$,因此组内离差平方和为$20-15=5$.
另一种分法组内离差平方和也为5. 其他分组方式的组内离差平方和均大于5. 所以这样分组组内离差平方和最小.