7 [2025启东期末]如图，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$C$为$AB$的中点，点$D$在线段$AC$上且$AD:CB=1:3$，则$AD$的长是（）

A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
（第7题）

7. B

【分析】
解题时先从已知条件“C为AB的中点”入手，利用线段中点的性质先求出CB的长度，再结合给出的AD与CB的比例关系，即可计算出AD的长度。
【解析】
解：
∵$AB=12\ \mathrm{cm}$，C是AB的中点，
∴$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$，
又
∵$AD:CB=1:3$，
∴$AD=\frac{1}{3}CB=\frac{1}{3}×6=2\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义、线段的比例计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是利用线段中点性质求出中间量CB的长度，再结合比例关系求解目标线段长度，掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8

8 分类讨论思想 如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB=10 cm，BD=4 cm。若点E在直线AB上，且AE=3 cm，则DE的长为 （）

A.3 cm
B.15 cm
C.3 cm或15 cm
D.3 cm或9 cm

8. D

【分析】
解题时首先根据线段中点的性质求出BC的长度，再结合AB的总长度算出AD的长度；需注意题目明确点E在直线AB上，而非线段AB上，因此要分两种情况讨论：①点E在线段AB上（A点右侧），②点E在BA的延长线上（A点左侧），分别计算两种场景下DE的长度即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵D为BC的中点，BD=4 cm，
∴BC=2BD=8 cm，CD=BD=4 cm，
又
∵AB=10 cm，
∴AC=AB-BC=10-8=2 cm，
∴AD=AC+CD=2+4=6 cm。
分两种情况讨论：
①当点E在线段AB上（A点右侧）时：
∵AE=3 cm，
∴DE=AD-AE=6-3=3 cm；
②当点E在BA的延长线上（A点左侧）时：
∵AE=3 cm，
∴DE=AE+AD=3+6=9 cm。
综上，DE的长为3 cm或9 cm。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“点E在直线AB上”的条件，仅考虑E在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意区分直线与线段的范围差异，涉及直线上的动点问题通常需要分类讨论。
【难度系数】
0.7

9 数轴上点A，B分别表示数－2和1，C是线段AB的中点，则点C表示的数是；若点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，则t s后点M表示的数为。

9. $-0.5$ $-2+2t$ 或 $-2-2t$

【分析】
首先解决第一问：求线段AB的中点C表示的数，根据中点的定义，中点到A、B两点的距离相等，我们可以通过两种思路求解：一是设C表示的数为x，根据距离相等列方程计算；二是直接用数轴上中点的计算规律：两点表示的数的和除以2，快速得到结果。
再解决第二问：点M的运动速度已知，但未明确运动方向，因此需要分类讨论：①点M沿数轴正方向（向右）运动，此时点M表示的数随时间增大而增加，用起点数加上运动的总距离即可；②点M沿数轴负方向（向左）运动，此时点M表示的数随时间增大而减小，用起点数减去运动的总距离即可，注意不要漏解。
【解析】
1. 求点C表示的数：
已知点A表示$-2$，点B表示$1$，根据数轴上中点的计算方法，中点表示的数为两点表示数的平均数，因此点C表示的数为：
$\frac{-2 + 1}{2} = -0.5$
2. 求t秒后点M表示的数：
点M从表示$-2$的点A出发，速度为每秒2个单位长度，运动方向未明确，分两种情况：
① 若点M沿数轴正方向运动，t秒运动的距离为$2t$个单位，此时点M表示的数为：$-2 + 2t$
② 若点M沿数轴负方向运动，t秒运动的距离为$2t$个单位，此时点M表示的数为：$-2 - 2t$
综上，t秒后点M表示的数为$-2+2t$或$-2-2t$。
【答案】
$-0.5$；$-2+2t$或$-2-2t$
【知识点】
数轴中点计算、数轴动点表示、分类讨论思想
【点评】
本题是数轴相关的基础常考题，第一问考查线段中点在数轴上的计算，属于基础考点；第二问需要注意运动方向的不确定性，需分情况讨论，易错点是遗漏其中一种运动情况。
【难度系数】
0.7

10 已知线段$AB=2\ \mathrm{cm}$，延长线段$AB$到点$C$，使$BC=\frac{1}{2}AB$，反向延长线段$AC$到点$D$，使$AD=\frac{1}{2}AC$。
（1）画出图形；
（2）求线段$CD$的长。

10. (1) 如图所示
(2) 因为 $BC=\frac{1}{2}AB=1\ \mathrm{cm}$,所以 $AC=AB+BC=3\ \mathrm{cm}$. 所以 $AD=\frac{1}{2}AC=1.5\ \mathrm{cm}$. 所以 $CD=AD+AC=4.5\ \mathrm{cm}$

【分析】
（1）作图题按照题目描述的顺序操作即可：首先画出长度为2cm的线段AB；接着从B点出发，沿着AB的延长方向取点C，使得BC的长度是AB的一半；最后从A点出发，沿着与AC相反的方向延长，取点D使得AD的长度是AC的一半。
（2）求CD的长度时，先梳理各线段的数量关系：首先根据已知的AB长度和BC与AB的倍数关系算出BC的长度，再由AB+BC得到AC的长度；然后根据AD与AC的倍数关系算出AD的长度；最后观察线段CD的构成，CD包含AD和AC两段，将两段长度相加就能得到CD的总长。
【解析】
（1）作图步骤：
① 画长度为2cm的线段AB；
② 延长AB到点C，使$BC=\frac{1}{2}AB=1\mathrm{cm}$；
③ 反向延长AC到点D，使$AD=\frac{1}{2}AC$，完成作图。
（2）计算过程：
已知$AB=2\ \mathrm{cm}$，根据$BC=\frac{1}{2}AB$，可得：
$BC=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$
线段AC是AB与BC的和，因此：
$AC=AB+BC=2+1=3\ \mathrm{cm}$
再根据$AD=\frac{1}{2}AC$，可得：
$AD=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$
由于D在AC的反向延长线上，因此CD的长度为AD与AC的和：
$CD=AD+AC=1.5+3=4.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) 如图所示
(2) 线段CD的长为$4.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算；线段作图；线段倍数运算
【点评】
本题主要考察线段的作图与长度计算，解题的核心是理清各线段的位置关系和数量关系，按照题目给出的倍数条件逐步推导未知线段的长度，解题逻辑清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.85

11 已知点C在线段AB上，M为AB的中点，AM=7，CM=2.
（1）如图①，求BC的长.
（2）如图②，点D在线段AB上.若AC=BD，判断M是否为线段CD的中点，并说明理由.
（第11题）

11. (1) 因为 $M$ 为 $AB$ 的中点,$AM=7$,所以 $BM=AM=7$. 又因为 $CM=2$,所以 $BC=BM-CM=5$
(2) $M$ 为线段 $CD$ 的中点 理由: 因为 $AC=BD$,所以 $AB-BC=AB-AD$. 所以$BC=AD$. 所以 $BM-CM=AM-DM$. 因为 $M$ 为 $AB$ 的中点,所以 $AM=BM$. 所以 $DM=CM$,即 $M$ 为线段 $CD$ 的中点.

【分析】
（1）求解第一问首先要利用线段中点的性质，由M是AB中点可得BM和AM长度相等，先求出BM的长度，再观察图形可知BC的长度等于BM减去CM的长度，代入数值计算即可得到结果。
（2）要判断M是否为CD的中点，只需证明DM=CM即可。首先从已知条件AC=BD出发，结合线段和差关系推导出AD=BC，再结合M是AB中点即AM=BM的性质，通过等式变形就可以得到DM=CM，从而得出结论。
【解析】
（1）$\because$ M为AB的中点，$AM=7$，
$\therefore BM=AM=7$，
又$\because CM=2$，
$\therefore BC=BM-CM=7-2=5$。
（2）M是线段CD的中点，理由如下：
$\because AC=BD$，
$\therefore AB-BC=AB-AD$，
$\therefore BC=AD$，
$\therefore BM-CM=AM-DM$，
$\because$ M为AB的中点，
$\therefore AM=BM$，
$\therefore DM=CM$，即M为线段CD的中点。
【答案】
（1）$BC=5$；
（2）M是线段CD的中点，理由见解析。
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差运算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，重点考查线段中点性质的应用和线段间数量关系的梳理，解题的关键是结合图形理清各线段的和差关系，第二问需要掌握判断线段中点的基本思路，即证明该点分线段得到的两条线段长度相等。
【难度系数】
0.75

12 如图.
（1）若线段$AD=6\ \mathrm{cm}$，线段$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，$E$，$F$分别是线段$AB$，$CD$的中点，求线段$EF$的长.
（2）若$E$，$F$分别是线段$AB$，$CD$的中点.
① 当线段$AD=10\ \mathrm{cm}$，线段$EF=7\ \mathrm{cm}$时，求线段$BC$的长.
② 当$AD=a\ \mathrm{cm}$，$EF=b\ \mathrm{cm}$时，你能用含$a$，$b$的式子表示线段$BC$的长吗？若能，请直接写出答案.

12. (1) 因为 $AD=6\ \mathrm{cm},AC=BD=4\ \mathrm{cm}$,所以 $AB=AD-BD=2\ \mathrm{cm},CD=AD-AC=2\ \mathrm{cm}$. 所以 $BC=AD-AB-CD=6-2-2=2(\mathrm{cm})$. 又因为 $E,F$ 分别是线段 $AB,CD$ 的中点,所以 $EB=\frac{1}{2}AB=1\ \mathrm{cm},CF=\frac{1}{2}CD=1\ \mathrm{cm}$. 所以 $EF=EB+BC+CF=1+2+1=4(\mathrm{cm})$
(2) ① 因为 $AD=10\ \mathrm{cm},EF=7\ \mathrm{cm}$,所以 $AE+DF=AD-EF=3\ \mathrm{cm}$. 因为 $E,F$ 分别是线段$AB,CD$ 的中点,所以 $AB=2AE,CD=2DF$. 所以 $AB+CD=2(AE+DF)=6\ \mathrm{cm}$. 所以 $BC=AD-(AB+CD)=4\ \mathrm{cm}$
② 能 $BC=(2b-a)\mathrm{cm}$

【分析】
（1）解题时先利用线段的差的关系，由AD、BD的长度求出AB，由AD、AC的长度求出CD，再用AD减去AB和CD得到BC的长度；接着根据线段中点的性质，求出EB和CF的长度，最后根据EF=EB+BC+CF计算即可得到EF的长度。
（2）① 先利用线段差求出AE与DF的和，再根据中点的性质，得到AB+CD是AE+DF的2倍，最后用AD减去AB与CD的和就能求出BC的长度。② 参照①的推导思路，把数值换成字母a、b，通过相同的数量关系推导即可得到BC的表达式。
【解析】
(1) 已知 $AD=6\ \mathrm{cm}$，$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，
根据线段和差关系可得：
$AB=AD-BD=6-4=2\ \mathrm{cm}$，
$CD=AD-AC=6-4=2\ \mathrm{cm}$，
则 $BC=AD-AB-CD=6-2-2=2\ \mathrm{cm}$。
因为$E$是$AB$的中点，所以 $EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$，
因为$F$是$CD$的中点，所以 $CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$，
因此 $EF=EB+BC+CF=1+2+1=4\ \mathrm{cm}$。
(2) ① 已知 $AD=10\ \mathrm{cm}$，$EF=7\ \mathrm{cm}$，
则 $AE+DF=AD-EF=10-7=3\ \mathrm{cm}$。
因为$E$、$F$分别是$AB$、$CD$的中点，所以 $AB=2AE$，$CD=2DF$，
因此 $AB+CD=2(AE+DF)=2×3=6\ \mathrm{cm}$，
则 $BC=AD-(AB+CD)=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
② 能，推导过程如下：
由 $AD=a\ \mathrm{cm}$，$EF=b\ \mathrm{cm}$，可得 $AE+DF=AD-EF=(a-b)\ \mathrm{cm}$，
同理 $AB+CD=2(AE+DF)=2(a-b)\ \mathrm{cm}$，
因此 $BC=AD-(AB+CD)=a-2(a-b)=(2b-a)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
(2) ① $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$；② $\boldsymbol{(2b-a)\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，核心是灵活运用线段的和差关系和线段中点的性质梳理各线段的数量关系，解题过程中用到的整体代入思想能有效简化计算，是后续几何线段类计算的基础题型。
【难度系数】
0.7