1.有下列命题:①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等;③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等。其中正确的是()

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

A

【分析】
要判断三个命题是否正确，需结合三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），逐个分析：
1. 命题①：已知两个角对应相等，根据三角形内角和，第三个角也对应相等；再结合第三个角的平分线对应相等，可通过角平分线性质及AAS/ASA证全等，故①正确。
2. 命题②：已知两条边和第三边中线对应相等，用倍长中线法构造全等三角形，可推导出第三边相等，再用SSS证全等，故②正确。
3. 命题③：两条边和第三边上的高对应相等时，高可能在三角形外部（如钝角三角形），存在反例（如锐角与钝角三角形，两边及高相等但不全等），故③错误。综上，正确的是①②。
【解析】
1. 验证命题①：
设△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，CD平分∠ACB，C'D'平分∠A'C'B'，且CD=C'D'。
由三角形内角和得∠ACB=∠A'C'B'，故∠ACD=∠A'C'D'。
在△ACD和△A'C'D'中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A' \\ ∠ACD=∠A'C'D' \\ CD=C'D'\end{array} $，
∴△ACD≌△A'C'D'(AAS)，得AC=A'C'。
在△ABC和△A'B'C'中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A' \\ AC=A'C' \\ ∠ACB=∠A'C'B'\end{array} $，
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)，①正确。
2. 验证命题②：
设△ABC与△A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，AD是BC中线，A'D'是B'C'中线，AD=A'D'。
延长AD至E，使DE=AD，连接BE；延长A'D'至E'，使D'E'=A'D'，连接B'E'。
在△ADC和△EDB中：
$\{\begin{array}{l}AD=ED \\ ∠ADC=∠EDB \\ CD=BD\end{array} $，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，得BE=AC=A'C'=B'E'。
同理△A'D'C'≌△E'D'B'，得A'E'=2A'D'=AE。
在△ABE和△A'B'E'中：
$\{\begin{array}{l}AB=A'B' \\ BE=B'E' \\ AE=A'E'\end{array} $，
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)，得∠BAE=∠B'A'E'。
在△ABD和△A'B'D'中：
$\{\begin{array}{l}AB=A'B' \\ ∠BAD=∠B'A'D' \\ AD=A'D'\end{array} $，
∴△ABD≌△A'B'D'(SAS)，得BD=B'D'，故BC=B'C'。
在△ABC和△A'B'C'中：
$\{\begin{array}{l}AB=A'B' \\ AC=A'C' \\ BC=B'C'\end{array} $，
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)，②正确。
3. 验证命题③：
举反例：△ABC中，AB=AC=5，BC边上的高AD=4；△A'B'C'中，A'B'=5，B'C'边上的高A'D'=4，但B'C'长度与BC不同，且△A'B'C'可能为钝角三角形，此时两边及高对应相等但三角形不全等，故③错误。
综上，正确命题为①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形全等的判定、角平分线的性质、中线与高的性质
【点评】
本题考查三角形全等判定的灵活应用，需注意高的位置可能导致的反例，倍长中线法是解决中线相关全等问题的常用辅助线，解题时需全面考虑图形的多种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5

2. 如图，若$DC=BC$，$AD=AB$，$∠ B=118°$，则$∠ BAC+∠ ACD=(\quad)$

A.$52°$
B.$62°$
C.$72°$
D.$118°$

B

【分析】首先根据已知条件AB=AD、BC=DC，结合公共边AC，可利用SSS判定△ABC与△ADC全等，得到对应角相等，即∠ACB=∠ACD；再在△ABC中，根据三角形内角和定理计算∠BAC+∠ACB的度数，即可得到∠BAC+∠ACD的结果。
【解析】在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\BC=DC \\AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ACB=∠ACD。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠BAC + ∠ACB + ∠B = 180°，
已知∠B=118°，
∴∠BAC + ∠ACB = 180° - 118° = 62°，
因此∠BAC + ∠ACD = ∠BAC + ∠ACB = 62°，
故选B。
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】本题考查全等三角形的SSS判定及三角形内角和定理的应用，解题关键是利用全等性质转化角，属于基础几何题，难度较低。
【难度系数】0.7

3. 如图，C 是 AE 的中点，AB=CD。下列条件中，不能判定$△ ABC ≌ △ CDE$的是（）

A.$BC=DE$
B.$∠ A=∠ DCE$
C.$∠ B=∠ D$
D.$AB // CD$

C

【分析】
要解决本题，先整理已知条件：由C是AE中点可得AC=CE，题目已给出AB=CD，因此△ABC和△CDE已有两组边对应相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），逐一分析各选项能否使两个三角形全等，注意SSA无法判定一般三角形全等。
【解析】
已知C是AE的中点，根据中点定义得AC=CE；又已知AB=CD，因此△ABC和△CDE中已有AB=CD、AC=CE两组边对应相等。
选项A：若BC=DE，则△ABC和△CDE满足三边对应相等（AB=CD，BC=DE，AC=CE），根据SSS判定定理，可证△ABC≌△CDE，故A不符合题意；
选项B：若∠A=∠DCE，则△ABC和△CDE满足两边及其夹角对应相等（AB=CD，∠A=∠DCE，AC=CE），根据SAS判定定理，可证△ABC≌△CDE，故B不符合题意；
选项C：若∠B=∠D，则△ABC和△CDE满足两边及其中一边的对角对应相等（AB=CD，AC=CE，∠B=∠D），属于SSA情况，无法判定一般三角形全等，故C符合题意；
选项D：若AB//CD，根据平行线内错角相等得∠A=∠DCE，同选项B，满足SAS判定定理，可证△ABC≌△CDE，故D不符合题意。
综上，不能判定△ABC≌△CDE的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定、平行线性质、中点性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，核心是掌握全等三角形的判定定理，明确SSA不能判定一般三角形全等，需学生熟练运用判定定理逐一分析选项，属于基础题型。
【难度系数】
0.5

4. 如图,已知 $ AB=AC $。
(1)若用“SAS”判定 $ △ ABD ≌ △ ACE $，则还需添加的条件是。
(2)若用“ASA”判定 $ △ ABD ≌ △ ACE $，则还需添加的条件是。
(3)若用“AAS”判定 $ △ ABD ≌ △ ACE $，则还需添加的条件是。

(1) $AD=AE$；(2) $∠ B=∠ C$；(3) $∠ ADB=∠ AEC$

【分析】
要解决这道题，首先明确△ABD和△ACE中，已知AB=AC，且∠A是两个三角形的公共角（即∠A=∠A）。接下来根据全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS），结合已有的边和角，分析需要补充的条件：
1. 对于SAS判定，需两边及其夹角对应相等，已有AB=AC、∠A为公共角，只需补充另一组对应边AD=AE即可；
2. 对于ASA判定，需两角及其夹边对应相等，已有∠A=∠A、AB=AC，只需补充另一组对应角∠B=∠C即可；
3. 对于AAS判定，需两角及其中一角的对边对应相等，已有∠A=∠A、AB=AC，只需补充另一组对应角∠ADB=∠AEC即可。
【解析】
已知在△ABD和△ACE中，AB=AC，且∠A为公共角，即∠A=∠A。
(1) 用“SAS”判定全等，需满足“两边及其夹角对应相等”，已有AB=AC、∠A=∠A，还需AD=AE，此时AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，符合SAS判定，故添加$AD=AE$；
(2) 用“ASA”判定全等，需满足“两角及其夹边对应相等”，已有∠A=∠A、AB=AC，还需∠B=∠C，此时∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C，符合ASA判定，故添加$∠ B=∠ C$；
(3) 用“AAS”判定全等，需满足“两角及其中一角的对边对应相等”，已有∠A=∠A、AB=AC，还需∠ADB=∠AEC，此时∠A=∠A，∠ADB=∠AEC，AB=AC，符合AAS判定，故添加$∠ ADB=∠ AEC$。
【答案】
(1) $AD=AE$；(2) $∠ B=∠ C$；(3) $∠ ADB=∠ AEC$
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）、全等三角形的判定（ASA）、全等三角形的判定（AAS）
【点评】
本题考查全等三角形的判定定理，要求学生熟练掌握SAS、ASA、AAS的判定条件，结合题目给出的已知边和公共角，分析补充合适的条件，属于基础题型，侧重对基础知识的应用。
【难度系数】
0.6

5.如图,已知 P 是∠BAC 的平分线 AD 上的一点,请添加一个条件:（只需填写一种情况）,使得$△ ABP ≌ △ ACP$。

AB=AC（答案不唯一，也可填写∠B=∠C、∠APB=∠APC等符合要求的条件）

【分析】
要使△ABP≌△ACP，已知AD是∠BAC的平分线，可得∠BAP=∠CAP，且两个三角形有公共边AP=AP。结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS等），添加合适的条件即可完成判定，答案不唯一。
【解析】
已知AD平分∠BAC，因此∠BAP=∠CAP，又AP是△ABP与△ACP的公共边，即AP=AP。根据全等三角形判定定理：
1. 若添加AB=AC，在△ABP和△ACP中，AB=AC，∠BAP=∠CAP，AP=AP，满足SAS，可判定△ABP≌△ACP；
2. 若添加∠B=∠C，在△ABP和△ACP中，∠B=∠C，∠BAP=∠CAP，AP=AP，满足AAS，可判定△ABP≌△ACP；
3. 若添加∠APB=∠APC，在△ABP和△ACP中，∠APB=∠APC，AP=AP，∠BAP=∠CAP，满足ASA，可判定△ABP≌△ACP。
【答案】
AB=AC（答案不唯一，如∠B=∠C、∠APB=∠APC等均可）
【知识点】
全等三角形判定、角平分线性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，需结合已知的角平分线和公共边，灵活运用全等判定定理添加条件，属于基础题型，答案具有开放性，能考查学生对全等判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.5

6. 如图,在四边形ABCD中,AB=AC,BF⊥AC于点E,交CD于点F,AD⊥CD,∠ABE=∠ACD。若BF=11,CD=8,则EF=。

3

【分析】要计算EF的长度，已知BF=11，需先求出BE的长度。观察已知条件，AB=AC，BF⊥AC、AD⊥CD可得直角相等，结合∠ABE=∠ACD，可通过AAS证明△ABE与△ACD全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=CD，进而计算EF。
【解析】
1. 由BF⊥AC，AD⊥CD，得∠AEB=∠ADC=90°；
2. 在△ABE和△ACD中：
∠AEB=∠ADC，
∠ABE=∠ACD，
AB=AC，

∴△ABE≌△ACD（AAS）；
3. 根据全等三角形的性质，对应边相等，故BE=CD=8；
4. 因为BF=BE+EF，已知BF=11，所以EF=BF - BE=11 -8=3。
【答案】3
【知识点】全等三角形判定、全等三角形性质
【点评】本题通过证明三角形全等得到对应边相等，进而求解线段长度，关键在于找准全等的条件，考查学生对全等三角形知识的基础应用能力。
【难度系数】0.5

7. 如图①，小华制作了一个风筝，其骨架示意图如图②所示，其中$AB=AC$，$∠BAD=∠CAD$，请说明：$BD=CD$。

证明：在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\quad(\mathrm{已知})\\∠ BAD=∠ CAD\quad(\mathrm{已知})\\AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD\ (\mathrm{SAS})$
$\therefore BD=CD\ (\mathrm{全等三角形的对应边相等})$

【分析】要证明线段BD=CD，可通过证明它们所在的三角形全等实现。观察图形可知，BD在△ABD中，CD在△ACD中，已知AB=AC，∠BAD=∠CAD，且AD是两个三角形的公共边，满足全等三角形的SAS判定条件，因此可通过证明△ABD≌△ACD，利用全等三角形对应边相等的性质得到BD=CD。
【解析】在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \quad (\mathrm{已知}) \\∠BAD=∠CAD \quad (\mathrm{已知}) \\AD=AD \quad (\mathrm{公共边相等})\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）
∴ BD=CD（全等三角形的对应边相等）
【答案】证明：在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\quad(\mathrm{已知})\\∠ BAD=∠ CAD\quad(\mathrm{已知})\\AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD\ (\mathrm{SAS})$
$\therefore BD=CD\ (\mathrm{全等三角形的对应边相等})$
【知识点】全等三角形的判定（SAS）、全等三角形的性质
【点评】本题是利用全等三角形证明线段相等的基础题型，考查学生对SAS判定定理及全等三角形性质的掌握，属于几何证明的入门应用，难度较低。
【难度系数】0.7