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7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$.下列说法中,正确的是（
A.$AD$是$△ ABE$的中线
B.$AE$是$△ ABC$的角平分线
C.$AF$是$△ ACE$的高线
D.$AE$是$△ ABC$的中线
B
）A.$AD$是$△ ABE$的中线
B.$AE$是$△ ABC$的角平分线
C.$AF$是$△ ACE$的高线
D.$AE$是$△ ABC$的中线
答案
7.B
8. 如图,$AD$是$△ ABC$的中线,也是$△ ABC$的高,$AE$是$△ ABD$的中线,若$△ ABE$的面积为$4$,$BC=8$,则$AD=$
4
.答案
8.4
9.(2024·涟水县期末)如图,在锐角$△ ABC$中,$D$是$BC$的中点,$BC=8$,$E$是$AC$上的一点,且$CE=2AE$,$BE$与$AD$相交于点$F$.若$△ AEF$的面积为$2$,则$AD$的最小值为
6
.答案
9.6
10. 如图,在$△ ABC$中$(AB＞BC)$,$AB=2AC$,$AC$边上的中线$BD$把$△ ABC$的周长分成 30 和 20两部分,求$ AB $和$ BC $的长.
答案
10.解:设$AC=x$,则$AB=2x$.
$∵BD$是中线,$∴AD=CD=\frac{1}{2}x$.
由题意,得$2x+\frac{1}{2}x=30$,解得$x=12$,
则$AC=12,AB=24,CD=6$,
$∴BC=20-CD=20-6=14$.
$∵BD$是中线,$∴AD=CD=\frac{1}{2}x$.
由题意,得$2x+\frac{1}{2}x=30$,解得$x=12$,
则$AC=12,AB=24,CD=6$,
$∴BC=20-CD=20-6=14$.
11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$BE$是角平分线,$AD$是高,$BE$,$AD$相交于点$F$. 试说明:$∠ 1=∠ 2$.
答案
11.解:$∵BE$是角平分线,$∴∠ABE=∠CBE$.
$∵∠BAC=90°$,$∴∠ABE+∠2=90°$.
$∵AD$是高,$∴∠CBE+∠BFD=90°$,
$∴∠2=∠BFD$. 又$∵∠1=∠BFD$,$∴∠1=∠2$.
$∵∠BAC=90°$,$∴∠ABE+∠2=90°$.
$∵AD$是高,$∴∠CBE+∠BFD=90°$,
$∴∠2=∠BFD$. 又$∵∠1=∠BFD$,$∴∠1=∠2$.
12. (2024·灌南县期中) 如图, 在$△ ABC$中,$AD$为边$BC$上的高,$E$是$BC$上的一点,连接$AE$.
(1) 当$AE$为边$BC$上的中线时,若$AD=6$,$△ ABC$的面积为24,求$CE$的长;
(2) 当$AE$为$∠ BAC$的平分线时,若$∠ C=66°$,$∠ B=36°$,求$∠ DAE$的度数.
(1) 当$AE$为边$BC$上的中线时,若$AD=6$,$△ ABC$的面积为24,求$CE$的长;
(2) 当$AE$为$∠ BAC$的平分线时,若$∠ C=66°$,$∠ B=36°$,求$∠ DAE$的度数.
答案
12.解:(1)$∵AD$为边$BC$上的高,$△ABC$的面积为24,
$∴\frac{1}{2}BC·AD=24$.
$∵AD=6$,$∴BC=8$.
$∵AE$为边$BC$上的中线,$∴CE=\frac{1}{2}BC=4$.
(2)$∵∠C=66°,∠B=36°$,
$∴∠BAC=180°-∠B-∠C=78°$.
$∵AE$为$∠BAC$的平分线,
$∴∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=39°$.
$∵∠ADC=90°,∠C=66°$,$∴∠CAD=90°-66°=24°$,
$∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=39°-24°=15°$.
$∴\frac{1}{2}BC·AD=24$.
$∵AD=6$,$∴BC=8$.
$∵AE$为边$BC$上的中线,$∴CE=\frac{1}{2}BC=4$.
(2)$∵∠C=66°,∠B=36°$,
$∴∠BAC=180°-∠B-∠C=78°$.
$∵AE$为$∠BAC$的平分线,
$∴∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=39°$.
$∵∠ADC=90°,∠C=66°$,$∴∠CAD=90°-66°=24°$,
$∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=39°-24°=15°$.
