9. 若平面内有3个点,过其中任意两点画直线,最多可画________条直线;若平面内有4个点,过其中任意两点画直线,最多可画________条直线;若平面内有5个点,过其中任意两点画直线,最多可画________条直线;…;若平面内有$n$个点,过其中任意两点画直线,最多可画________条直线.

9.3 6 10 $\frac{n(n-1)}{2}$

【分析】
要使过任意两点画的直线数量最多，需满足平面内任意三个点都不在同一条直线上，此时每两个点唯一确定一条直线，不会出现重复的直线。我们可以从点数较少的情况入手推导规律：每个点都可以和除自身外的其他所有点连成直线，但是每条直线会被它的两个端点各计算1次，因此总直线数需要除以2消去重复计数。先计算3个点、4个点、5个点的情况，再延伸到n个点的通用规律即可。
【解析】
1. 当平面内有3个点且无三点共线时：
两两连线的总条数为$2+1=3$，即最多可画3条直线；
2. 当平面内有4个点且无三点共线时：
两两连线的总条数为$3+2+1=6$，即最多可画6条直线；
3. 当平面内有5个点且无三点共线时：
两两连线的总条数为$4+3+2+1=10$，即最多可画10条直线；
4. 当平面内有$n$个点且无三点共线时：
两两连线的总条数为$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1$，求和可得结果为$\frac{n(n-1)}{2}$，即最多可画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线。
【答案】
3；6；10；$\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
1. 两点确定一条直线
2. 规律归纳探究
3. 直线计数
【点评】
本题是直线计数类基础题型，解题的关键是明确“最多直线数”的前提是任意三点不共线，通过从特殊到一般的推导方式即可归纳出通用公式，能够有效锻炼学生的逻辑推导和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7

10. 按下列语句画出图形：
(1)直线$ l $经过$ A,B,C $三点，点$ C $在点$ A $与点$ B $之间；
(2)直线$ a,b,c $相交于点$ O $；
(3)直线$ AB $与$ CD $相交于点$ P $；
(4)$ P $是直线$ a $外一点，经过点$ P $有一条直线$ b $与直线$ a $相交于点$ Q $。

10.解:(1)如答图①.
(2)如答图②.
(3)如答图③.
(4)如答图④.

【分析】
本题是根据几何文字语句绘制对应图形的基础题型，解题时需先拆解每句语句的几何要素，再结合直线的性质分步作图：
1. 第(1)问核心要素为：直线$l$过$A、B、C$三点，且$C$在$A、B$之间，先画直线再按顺序标注三点即可；
2. 第(2)问核心要素为：三条直线共交点$O$，先定公共点$O$，再画三条过$O$的直线标注即可；
3. 第(3)问核心要素为：直线$AB$和$CD$的交点是$P$，先画两条相交直线，交点标$P$后再给两条直线标注字母即可；
4. 第(4)问核心要素为：点$P$在直线$a$外，过$P$的直线$b$与$a$交于$Q$，先画直线$a$，在$a$外定点$P$，再画过$P$的直线$b$与$a$相交，交点标$Q$即可。
【解析】
(1) 先画一条可向两端无限延伸的直线，标记为$l$，再在直线$l$上顺次取三个点，按顺序标注为$A、C、B$，保证$C$位于$A、B$之间，得到对应图形。
(2) 先确定一个点标记为$O$，再画三条互不重合、都经过点$O$的直线，分别标注为$a、b、c$，得到对应图形。
(3) 先画两条有唯一交点的相交直线，交点标记为$P$，其中一条直线两端标注$A、B$记为直线$AB$，另一条直线两端标注$C、D$记为直线$CD$，得到对应图形。
(4) 先画一条直线标记为$a$，在直线$a$外取一点标记为$P$，再画一条经过点$P$的直线$b$，直线$b$与直线$a$的交点标记为$Q$，得到对应图形。
【答案】
(1)如答图①.
(2)如答图②.
(3)如答图③.
(4)如答图④.
【知识点】
直线的性质，几何作图，相交线概念
【点评】
本题属于基础类几何题，重点考查将文字几何语言转化为直观图形的能力，需要准确掌握点与直线的位置关系、直线交点的定义等核心要素，是后续几何学习的重要基础。
【难度系数】
0.9

11.如图,有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它与四个村庄的距离之和最小.

11.解:如答图,连接AC,BD,它们的交点是 H,点 H 就是修建蓄水池的位置,这一点到 A,B,C,D 四个村庄的距离之和最小.

【分析】
要找到到四个村庄距离之和最小的点，可借助“两点之间，线段最短”的性质推导：要使点到A、C的距离和最小，该点一定在线段AC上；要使点到B、D的距离和最小，该点一定在线段BD上。同时满足两个条件的点就是两条线段的交点，此时总距离为AC和BD的长度和，是最小值。
【解析】
第一步：用直尺连接A、C两点得到线段AC；
第二步：用直尺连接B、D两点得到线段BD，两条线段的交点记为H；
第三步：依据两点之间线段最短可证，若取任意不是H的点，到A、C的距离和都会大于AC，到B、D的距离和都会大于BD，总距离就会大于AC+BD，因此点H就是到四个村庄距离和最小的点。
【答案】
如答图,连接AC,BD,它们的交点是 H,点 H 就是修建蓄水池的位置,这一点到 A,B,C,D 四个村庄的距离之和最小.
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 线段作图
【点评】
本题是线段性质的实际应用，核心是将实际生活中的最短距离问题转化为几何问题，考察了对线段性质的理解和应用能力，以及建模思维。
【难度系数】
0.8

12. 如图,数一数每个图形的线段总数:
(1)如图①,线段总数是$2+1=$;
(2)如图②,线段总数是$3+2+1=$;
(3)如图③,线段总数是$4+3+2+1=$;
(4)如图④,线段总数是$5+4+3+2+1=$;
(5)由此得出求线段总数的规律:当线段上共有$n$个点(包括两个端点)时,线段的总数为,当$n=22$时,线段的总数为;
(6)由以上规律,解答问题:如果10位同学聚会,每两位同学都要握手一次,一共需要握多少次手?

12.(1)3 (2)6 (3)10 (4)15 (5)$\frac{n(n-1)}{2}$ 231
(6)解:$\frac{10×9}{2}=45$(次).答:一共需要握45次手.

【分析】
数线段时可按左端点分类计数避免重复：以最左侧点为左端点的线段数量为总点数减1，向左数第二个点为左端点的线段数量为总点数减2，依次递减到1，求和即可得到线段总数。在此基础上可归纳出n个点时线段总数的通用公式，再将握手问题转化为线段计数问题：每位同学对应线段上的一个点，两人握手1次对应两点确定1条线段，直接代入公式计算即可。
【解析】
(1) $2+1=3$；
(2) $3+2+1=6$；
(3) $4+3+2+1=10$；
(4) $5+4+3+2+1=15$；
(5) 当线段上共有$n$个点（含端点）时，每个点可与其余$n-1$个点连接形成线段，总共计算得到$n(n-1)$条，此时每条线段被两个端点各计算1次，存在重复计数，因此线段总数为$\frac{n(n-1)}{2}$；
当$n=22$时，代入公式得：$\frac{22×(22-1)}{2}=\frac{22×21}{2}=231$；
(6) 10位同学相当于线段上的10个点，每两人握手1次对应两点间的1条线段，代入公式得：
$\frac{10×(10-1)}{2}=\frac{10×9}{2}=45$（次）
答：一共需要握45次手。
【答案】
(1)3；(2)6；(3)10；(4)15；(5)$\frac{n(n-1)}{2}$，231；(6)45次
【知识点】
线段计数；规律探究；转化应用
【点评】
本题从基础的线段计数问题入手，通过特殊到一般的思路归纳通用公式，再迁移应用到实际握手问题，考查学生的归纳总结能力和知识迁移能力，掌握计数规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8