10. 如图,已知四边形ABCD是正方形,分别过A,C两点作直线$l_1//l_2,$作$BM⊥l_1$于点$M,DN⊥l_1$于点N,直线MB,ND分别交$l_2$于点Q,P.
求证:四边形PQMN是正方形.

证明

证明 $ \because PN \perp l_1 $，$ QM \perp l_1 $，$ \therefore PN // QM $，$ \angle PNM = 90^{\circ} $. $ \because PQ // NM $，$ \therefore $ 四边形 $ PQMN $ 是矩形. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，$ \therefore \angle BAD = \angle ADC = 90^{\circ} $，$ AB = AD = DC $（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）. $ \therefore \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ} $. 又 $ \angle 3 + \angle 2 = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle 1 = \angle 3 $. $ \therefore \triangle ABM \cong \triangle DAN $. $ \therefore AM = DN $. 同理 $ AN = DP $. $ \therefore AM + AN = DN + DP $，即 $ MN = PN $. $ \therefore $ 四边形 $ PQMN $ 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.

11. 如图,阴影部分是一个正方形广场,规划将正方形的四边各延长一倍,即DM= AD,CN= CD,AQ= AB,BP= BC,将M,N,P,Q四点连接,建成新的广场MNPQ,试问建成的新广场是什么形状,它的面积是原广场ABCD的多少倍?
建成的新广场MNPQ是，它的面积是原广场ABCD面积的倍.

解 设原正方形 $ ABCD $ 的边长为 1. $ \therefore DM = CN = BP = AQ = 1 $. $ \therefore DN = CP = BQ = AM = 2 $. 又 $ \angle MDN = \angle NCP = \angle PBQ = \angle QAM = 90^{\circ} $，$ \therefore \triangle MDN \cong \triangle NCP \cong \triangle PBQ \cong \triangle QAM $. $ \therefore MN = NP = PQ = QM $. $ \therefore $ 四边形 $ MNPQ $ 是菱形. 由 $ \triangle QAM \cong \triangle MDN $，得 $ \angle 1 = \angle 3 $，又 $ \angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle QMN = \angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 2 = 90^{\circ} $. $ \therefore $ 四边形 $ MNPQ $ 是正方形. $ \because MN^2 = 5 = 5CD^2 $，$ \therefore $ 四边形 $ MNPQ $ 的面积是正方形 $ ABCD $ 面积的 5 倍. 答：建成的新广场 $ MNPQ $ 是正方形，它的面积是原广场 $ ABCD $ 面积的 5 倍.