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7. 如图,将矩形 $ABCD$ 对折,使边 $AB$ 与 $DC$,$BC$ 与 $AD$ 分别重合,展开后得到四边形 $EFGH$。若 $AB = 2$,$BC = 4$,则四边形 $EFGH$ 的面积为(
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
B
)A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
答案
B
8. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AE\perp BC$ 于点 $E$,$AF\perp CD$ 于点 $F$,且 $E$、$F$ 分别为 $BC$、$CD$ 的中点,则 $\angle EAF$ 等于(
A. $75^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $30^{\circ}$
B
)A. $75^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $30^{\circ}$
答案
B
9. 如图,菱形 $ABCD$ 的对角线的长分别为 2 和 5,$P$ 是对角线 $AC$ 上任意一点(点 $P$ 不与点 $A$、$C$ 重合),且 $PE// BC$ 交 $AB$ 于点 $E$,$PF// CD$ 交 $AD$ 于点 $F$,则图中阴影部分的面积是______
2.5
。答案
2.5
10. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AE\perp BC$ 于点 $E$,$AF\perp CD$ 于点 $F$,连结 $EF$。
(1)求证：$AE = AF$；
证明 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
$ \therefore AB = AD $，$ \angle B = \angle D $，
又 $ \because AE \perp BC $，$ AF \perp CD $，
$ \therefore \angle AEB = \angle AFD = 90^{\circ} $.
在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle ADF $ 中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle AEB = \angle AFD, \\ \angle B = \angle D, \\ AB = AD, \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle ADF$(
(2)若 $\angle B = 60^{\circ}$,求 $\angle AEF$ 的度数。
解 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
$ \therefore \angle B + \angle BAD = 180^{\circ} $.
$ \because \angle B = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle BAD = 120^{\circ} $.
又 $ \because \angle AEB = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle BAE = 30^{\circ} $.
由 (1) 知 $ \triangle ABE \cong \triangle ADF $，
$ \therefore \angle BAE = \angle DAF = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle EAF = 60^{\circ} $.
又 $ \because AE = AF $，$ \therefore \triangle AEF $ 为等边三角形，$ \therefore \angle AEF = $
(1)求证：$AE = AF$；
证明 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
$ \therefore AB = AD $，$ \angle B = \angle D $，
又 $ \because AE \perp BC $，$ AF \perp CD $，
$ \therefore \angle AEB = \angle AFD = 90^{\circ} $.
在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle ADF $ 中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle AEB = \angle AFD, \\ \angle B = \angle D, \\ AB = AD, \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle ADF$(
AAS
)，$ \therefore AE = AF $.(2)若 $\angle B = 60^{\circ}$,求 $\angle AEF$ 的度数。
解 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
$ \therefore \angle B + \angle BAD = 180^{\circ} $.
$ \because \angle B = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle BAD = 120^{\circ} $.
又 $ \because \angle AEB = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle BAE = 30^{\circ} $.
由 (1) 知 $ \triangle ABE \cong \triangle ADF $，
$ \therefore \angle BAE = \angle DAF = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle EAF = 60^{\circ} $.
又 $ \because AE = AF $，$ \therefore \triangle AEF $ 为等边三角形，$ \therefore \angle AEF = $
60°
.答案
(1) 证明 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
$ \therefore AB = AD $，$ \angle B = \angle D $，
又 $ \because AE \perp BC $，$ AF \perp CD $，
$ \therefore \angle AEB = \angle AFD = 90^{\circ} $.
在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle ADF $ 中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle AEB = \angle AFD, \\ \angle B = \angle D, \\ AB = AD, \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle ADF(AAS) $，$ \therefore AE = AF $.
(2) 解 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
$ \therefore \angle B + \angle BAD = 180^{\circ} $.
$ \because \angle B = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle BAD = 120^{\circ} $.
又 $ \because \angle AEB = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle BAE = 30^{\circ} $.
由 (1) 知 $ \triangle ABE \cong \triangle ADF $，
$ \therefore \angle BAE = \angle DAF = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle EAF = 60^{\circ} $.
又 $ \because AE = AF $，$ \therefore \triangle AEF $ 为等边三角形，$ \therefore \angle AEF = 60^{\circ} $.
$ \therefore AB = AD $，$ \angle B = \angle D $，
又 $ \because AE \perp BC $，$ AF \perp CD $，
$ \therefore \angle AEB = \angle AFD = 90^{\circ} $.
在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle ADF $ 中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle AEB = \angle AFD, \\ \angle B = \angle D, \\ AB = AD, \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle ADF(AAS) $，$ \therefore AE = AF $.
(2) 解 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
$ \therefore \angle B + \angle BAD = 180^{\circ} $.
$ \because \angle B = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle BAD = 120^{\circ} $.
又 $ \because \angle AEB = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle BAE = 30^{\circ} $.
由 (1) 知 $ \triangle ABE \cong \triangle ADF $，
$ \therefore \angle BAE = \angle DAF = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle EAF = 60^{\circ} $.
又 $ \because AE = AF $，$ \therefore \triangle AEF $ 为等边三角形，$ \therefore \angle AEF = 60^{\circ} $.
